Notion de probabilité des erreurs

Imaginoas ijue 1 on appliiiuc une méthode déterminée de mesure d'une grandeur physique. Toute cause d'erreur systématique étant supposée exclue, le résultat d'une des mesures en question pourra cependant être faussé, plus ou moins, par des erreurs accidentelles, que l'on est porté à considérer comme relevant du hasard, parce qu'elles tiennent à un grand nombre de causes diiïérenles, qui écliappent à

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l'unalysp. cl (lui teiidenl à fausser lo rosullat, sdit ilniis un sens, soil dans l'autre, sans (]u"on puisse savoir dans (]uel sens elles a;;isscnt elTectivonient dans chaque expérience.

On est ainsi cctnduit à admettre (|ue, de ce fait, des erreurs sont possibles, ijuel que soil le soin apporté dans rapi)licalion de la méthode expérimentale en question; mais qu'il y a, dans ces erreurs, des degrés de probabililé. l'ne erreur sera d'autant moins probable ([u'elle sera plus grande; et une erreur très grande sera très improbable, il s'agit de déllnir et d'évaluer numériquement la |)r()babilité pour (|uc l'erreur, dans une telle expérience, ne dépasse pas une borne donnée. On ne pourra le faire qu'en vertu de certaines hypothèses, que nous allons préciser. Les conséquences mathématiques que nous en déduirons ne seront applicables, dans chaque cas concret donné, (juautant (jue la légitimité de ces hypothèses y pourra être admise.

Analyse de la notion de probabililé. — Soit c la valeur exacte de la grandeur à mesurer G. Nous allons supposer que Ton fasse, pour mesurer G, (par la méthode donnée), un grand nombre a d'expériences; soient a^, (u, ..., an les mesures ainsi obtenues dans chacune de ces expériences.

1° Soit u un nombre, positif ou négatif, arbitrairement choisi. Parmi les valeurs aj, a^, ..., a», il y en aura un certain nombre p, positif ou nul, qui appartiendront à l'intervalle (z, r -|- u). Si on admet que la loi des ijrands nombres ^< est

applicable en l'espèce, le rapport - gardera sensiblement la même valeur, lorsqu'on

recommencera, un nombre quelconque de fois, cette série de n expériences, pourvu que n soit assez grand; et il finira par demeurer même à peu près invariable, lorsque n augmentera indéfiniment.

On donne à celte hypothèse une forme plus absolue, de manière à pouvoir

introduire dans la question l'analyse mathématique, en admettant que le rapport -

tendrait, si on augmentait indéfiniment le nombre n des mesures, vers une limite

ne dépendant que de u. Cette limite de -, qui est donc une certaine fonction 4>(ii),

sera, par définition, la probabilité pour qu'une mesure de G tombe dans Vintervalle

(z. z -\- u). Il résulte de cette définition que, dans un grand nombre n de mesures

de G, le nombre de celles des valeurs obtenues qui appartiendront à l'intervalle

(z. c -]- u) sera égal à «[^(u) + e]» £ devant tendre vers zéro avec -•

Toutes les probabilités que nous aurons à considérer se définiraient d'une manière analogue.

2° Soit ■/, le nombre, positif ou nul, de celles des valeurs «j, a^, ..., a» qui se

trouveront être égales à ;-}-«. Nous admettrons que le rapport - tend vers zéro;

c'est-à-dire que la probabilité pour qu'une mesure ait une valeur donnée à Cavance est nulle. Ceci s'applique, en particulier, pour u = 0, c'est-à-dire ijue la probabilité pour qu'une mesure donne la valeur exacte de G est nulle. T Soit toujours p le nombre des mesures appartenant à l'intervalle (z, z -}- »).

(1) La loi des grands nombres consiste en ce que, pciur deux espèces d'événements de la même nature, le rapport de leurs nombres est sensiblement constant, dès que ces nombres sont assez grands. Ainsi, si l'on admet que, pendant une heure d'nverse, le rapport du nombre des gouttes <iui tombent sur deux dalles voisines d'un pavage horizontal est sensiblement constant pour toutes les averses, (et égal au rapjiort des surfaces des dalles), on admet <[ue la loi des grands nombres s'ap|)lique à la chute des gouttes de pluie sur un terrain de petite superficie.

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X celui des mesures égales à r + ". et ' celui des mesures égales ù r. Le nombre des mesures comprises enlre c et ; + h est p — >. — "/' ; et l.i limite de

P — 'i — >' P >■ L n /( Il n

est la même que celle de -, c'est-à-dire 'I>(u).

Donc <IM") «*'' uussi la probabilité pour qu'une mesure tombe entre : et r -f- u; et on verrait de même (|ue c'est encore la probabilité pour qu'une mesure appurlienne ù l'intervalle (.', c -j- u), la borne : -{- u exclue.

4° Soit 0 <[ u < "'; et continuons à considérer nos n expériences. Soit p le nombre des mesures appartenant à l'intervalle (:, r -(- u), la borne : -\- u exclue; et soit // le nombre des mesures appartenant a. 1 intervalle (z, j -\- u'). Le nombre des mesures

appartenant à l'intervalle (. + u, ~4-u') est alors p' — p, et - - -=:^ — - tend,

pour n infini, vers <l>{u') — •l>(u).

Donc la probabilité pour qu'une mesure tombe dans l'intervalle {: -\- u, z -\- u) est *(u') — «tlu).

Noua admettrons qu'elle tend vers zéro, quand l'amplitude de l'intervalle considéré, u' — u, tend vers zéro; c'est-à-dire que nous admettons la continuité de <i>(u). pour u >0.

En parliiulier, la probabilité pour qu'une mesure tombe dans l'intervalle (z, : -{- u) doit tendre vers zéro avec u; c'est-à-dire que 4»(u) tend vers zéro avec u. On posera, par déllnitioD, * (0) = 0, et la fonction «I> (u) sera ainsi continue également pour u = 0.

Remarque. — Dans ce qui précède, la différence 'l'(u') — 'Piu), limite d'une quantité qui n'est pas négative, est positive ou nulle. Nous admettrons qu'elle est positive, c'est-àilire que la fonction <I>(u) est croissante, pour u > 0.

5" Nous admettons que les erreurs par excès et les erreurs par défaut ont, à valeur absolue égale, la même probabilité. Cela revient à admettre que «t»! — u) ^ 't'(u)> c'està-dire que "ttii) est une fonction paire.

6" En raisonnant comme nous avons fait ci-dessus, on montrera que la probabilité pour qu'une mesure tombe dans un intervalle (z — u', r -|- u), u et u' étant positifs, est <I>(u) + 'ï'( — " )• La fonction <I> étant paire, ceci est égal à 'ï' (u) -I- 'I'(u').

En particulier, la probabilité pour qu'une mesure appartienne à l'intervalle (c — u, r -j- u), c'est-à-dire la probabilité pour que l'erreur d'une mesure ne dépasse pas u en valeur absolue, est 2'i>(u).