I -|- ig-x
deviendront du premier degré en cosa-, et elle prendra la forme
p , . A(lg.r)4- B(t°:j).cosj ^ ' C(lgJ-)+ U(lga-).cosx'
A, B, C, D étant des polynômes entiers en tgo*. Mais alors
F(j, I v A(tgj-) — B(lgj).cosj- ' "^ ' C(tgx)— D(tga;;.cosa;* On a donc, par hypothèse,
r./ X .\ + Bcosx A — Bcoâx
r ix) = • ^= •
G + Dcosx C — Ucos.r
On obtient une fraction égale à ces deux expressions de F(.r) en ajoutant leurs numérateurs et leurs dénominateurs : donc
P(-) = iè = ^)' (C.Q.F.D.)
On a, par suite, à calculer une intégrale de la forme / li{[^.r)dx, R désignant toujours une fonction rationnelle. On posera tgj^'^u. .rr=Arctgw, d.i'=, — — ^;
et on sera ramené à une différentielle rationnelle en u, / / ' ., •
Exemple 1.
flg^xdx = f^, = fi^^±^^du=u-\vcliiu-^c
Donc
/ \g^xdx = lg.r — X -\-c.
2* / l^xdx. — H est ici plus simple d'écrire :
/sinxdx rdcosx -
cosx J cosa:
Donc
/ tgj: dxz=: — log|cosa?| -hc.
INTEGRALES INDEFINIES Si
^* Cas. F{x) est une fonction impaire; c'esl-à-dire F( — x)^= — F(.x-). On en doit conclure que F{x) est le produit de sin x par une fonction rationnelle de cosx.
En effet, remplaçons sia*x, autant de fois que possible, par (1 — cos^j). Les deux tcrmesde la fraction seront ramenés àôtredu premier degré en sinr, etelle prendra
la forme
A (co3x) -f B (ces g-) sinx ^■'' C (cosx) -j- t> (C03X) sinx'
A, n, C. D étant des polynômes entiers en cosx. Mais alors
P . A (cosx) — B(cosx) sinx
^ • G (cosx) — U (cosx) sinx' On a donc par hypothèse :
„ A-fjB sinx — A + 1^ sin X
* W — C + Dsinx"" C — Usinx '
et, en ajoutant les numérateurs et les dénominateurs de ces rapports égaux,
„, . 213 sinx B (cosx) . ,n r\ i? n ^
F(x) = -^^^ = ^^^^^sinx. (C.Q.F.D.)
On a donc à calculer une intégrale de la forme j ïi (cosx) sin.r dx. El
en posant
uc=cosx, dv = — s'iDxdx,
on sera ramené à une difTérentielle en i\ / — ï{{v)dv.
3" Cas. F{t: — x) = — F{x).
On démontrera, de môme, que F{x) peut se ramener à la forme H(sina') cosa,'; et on intègre en posant /résina:.
311. Expressions entières. — Tout polynôme entier en cosx et sinx se décompose en monômes, et on a à étudier des intégrales de la forme
(1) ■ iT= / cos"'x sin^x rfx.
Si m, ou p. est impair, on prendra, d'après les indications du numéro précédent, comme inconnue nouvelle sinx ou cosx (respectivement). Si m et p sont pairs, la dilTérentielle est de la forme
0 ^mw • 2 w/ ; l/l + cos2x\"'' /, cos2xY' ,^ , (cos^x)'" (sm^x)/' f/x = -( ^ j 11 :p-j rf(2x).
On aura donc une somme de monômes en cos 2x de degré ^^ ' au
plus. On pourra opérer sur chacun d'eux comme précédemment, car l'intégrale de chacun est du type (1), à cela près que p est nul, et que X est remplacé par 2x. Et ainsi de suite. Les degrés s'abaissanl de plus
en plus, on arrivera à des intégrales du type / cosxrfx, ou / dx.
Exemple. j cos*x sin-X(/x = / (
