Probabilité élémentaire

Nous admettrons que la fonction ^(u) a une dérivée, et nous poserons, 'I>'(u) 1= i.(u). On aura donc, pour u > 0, 3(u) = <ï>'(u), car 'I>(u) est alors croissante, et. par conséquent, l'(u) positif. On en conclut, puisque <f> Oi est nul,

(I) <î>(u)= / :;,(a)du. (u>0).

C'est la fonction =(u) que nous allons chercher à déterminer.

Sa signillcation est la suivante. La probabilité pour qu'une mesure appartienne à l'intervalle (-4-". : -\- u -[- du) est, d'après ce qui précède '', >P(u-]-du) — >P{u) : si on considère c/u comme un infiniment petit positif, cette probabilité est infiniment petite, et a pour partie principale z.{u)du.

(I) Nous n'avons considéré que le cas de u>0; mais le cas de u < 0 se traiterait de même, les dillérences considérées devant être seulement renversées.

272 pnoBAHii.iTi: ni:s ehui:lrs

Coite partie principale s'appelle la probabilité élémentaire des erreurs: la fonction :(») délinit la loi de fréquence des erreurs.

Iteninrquons. en elTel, que le résultat même d'une mesure n'est jamais un nombre rigoureusement délini; il est calculé à moins de un dixième, ou un centième, etc.; si a est la valeur adoptée, et h lappro-ximation ii kuiuellc on se limite, on peut seulement dire que le résultat de la mesure est compris entre a — h et a -f h. L'erreur, pour celle valeur a, sera u = a — r, si on convient de la considérer comme positive pour les valeurs approchées par excès ' . El dire que l'erreur d'une mesure est u signifiera seulement que la valeur fournie par celle mesure est comprise entre u — A et u 4- ''■ La probabilité pour ([uil en soit ainsi est la valeur absolue de la ditTérence

dont la partie principale, relativement à h, est

h <ï>' (u) — (— h) '!>' (u) = 2/i «t'iu).

Comme /i est toujours petit, relativement aux nombres que l'on calcule, la probabilité en ([ueslion sera pratiquement égale à la valeur absolue de cette partie principale: c'est-à-dire à 2/i3(u).

Ainsi, la probabililé pour qu'une mesure, calculée à h près, soit affectée d'une erreur u. est 2/i = (u)2.

Observons maintenant, que, dans une même série de mesures, h aura toujours la même valeur, de sorte que la probabilité d'une erreur égale à u sera proportionnelle à 5(u): et nous serons en droit de conclure que, pratiquement, la fonction z(u) mesure la probabilité d'une erreur égale à u. Par conséquent, elle mesure aussi la fréquence d'une telle erreur, dans une série de mesures; puisque, d'après la définition de la probabilité, le nombre des mesures afTectées de l'erreur u sera sensiblement égal à n.2hz{u), (n étant le nombre total des mesures); et que, par conséquent, on peut le considérer comme proportionnel à =(«).