Probabilité composée

Reprenons les notations du numéro 411. Donnons-nous deux valeurs de u, soit w, et Uj, et supposons, par exemple, u, < u^. Soit h un nombre positif assez petit pour que les intervalles (u, — h, u, + h), (u, — A, u* — h) n'empiètent pas l'un sur l'autre. U en sera de même des intervalles (c -(- u, — /i, z -)- u, -j- h), {: -\- u^ — h, z -{- u,-\- li); et nous allons chercher la probabilité pour que deux mesures consécutives donnent des résultats appartenant respectivement à ces deux intervalles, à l'ordre près •* .

Imaginons, à cet elîet, n séries de deux mesures consécutives; et comptons d'abord combien il y en a pour les(iuelles la première mesure donnera un nombre du premier des intervalles considérés, en même temps que la seconde mesure donnera un nombre du second intervalle. Comme il y a n premières mesures, le nombre de celles qui tombent dans le premier intervalle sera (n" 411, 1" et 4°)

n' = n } I «!> (u, -f /.) - * (u, - /.) l-f £ {, si on désigne par e un nombre qui tendra vers zéro avec -.

(1) C'est la convention opposée à celle que nous avons faite au numéro 193.

(2) On néglige, dans cet énoncé, un infiniment petit d'ordre supérieur à /t.

(3). C'est ce qu'on appelle un problème de probabilités cotnposées, parce qu'on y étudie la probabilité de l'apparition simultanée de deux ou de plusieurs événements, indépendants les uns des autres.

l'UoiiAiiii.rri; or.s eiiukciis 273

Dans les «' séries correspondantes, nous comptons maintenant celles pour lesquelles la seconde mesure donne un résultat compris dans le deuxième intervalle. Ce sera, en appli(|uant encore les notions du numéro 411, ce qui esl légitime parce que toutes les mesures sont indépendantes les unes des autres,

p=:n' ;|*(uj + /»)— «l'IUj — /i):4-£' {.

si on désigne par e' un noinlire qui doit tendre vers zéro avec ,, et, par conséquent,

avec - •

Le nombre ainsi obtenu

(1) p = n ; «Ku, + /,) — -K«i-/.) -f-î! ! <^(u,, + /.)-'I•(u, -/')' + c'(

est celui (jue nous cherchions.

Il faut, pour avoir le nombre de toutes les séries de deux mesures répondant a la question, lui ajouter le nombre des séries pour lesquelles c'est la deuxième mesure qui tombe dans le premier intervalle, en même temps que In première mesure donne une valeur du second intervalle. Comme toutes les mesures sont indépendantes, ce

nombre sera encore p: et la probabilité cherciiée sera lim — , ou, d'après la

formule (I),

(2) 2 <l>(ui + /<) — ^(Ui — /»)|. Xo.+ Zi) — <l'(u., — /t)i.

Kn raisonnant de même, on ver^a que la probabilité pour que m mesures consécutives

donnent, à Cordrc près, des résultats qui appartiennent respectivement aux m intervalles donnés

(supposés sans partie commune), est égale au produit

1.2.3... m. 1>((ii + /i) — <I>(u, — /i) .|<ï>(o,4-/i) — 'Ku, — A);... «Kum + Zi) — *(«»< — /i)!.

Si nous considérons maintenant h comme un infiniment petit, et si nous remplaçons chac|ue facteur par sa partie principale, le produit obtenu

(3) • i. 2.3 ... m. 2'". A'n^fuilsCu.) ... î;(um)

représente (à un infiniment petit près d'ordre supérieur), la probabilité pour que, dans une série de m mesures, calculées à li près, les erreurs soient respectivement, et à Vordre près, égales à Uj, Uj, ..., Um.

On peut encore dire que, dans un type donné de mesures d'une grandeur, la probabilité pour que m mesures soient affectées, respectivement, et à l'ordre près, des erreurs u,, Uj, ..., u,n, est proportionnelle au produit.

(4) 5(Ul) = (U,) ... =(u,J,

qui peut ainsi être considéré comme mesurant cette probabilité.

444. La valeur la plus probable et le principe de la moyenne.

Nous sommes maintenant eu mesure de répondre à la question posée au début du n°410.

Supposons qu'on ail fait m mesures d'une grandeur G, et qu'on ait trouvé ainsi

les nombres a^, a^ a,,,. Quelle sera la valeur la plus probable de cette grandeur,

pour une loi de probabilité des erreurs donnée'.'

Si la mesure vraie de cette grandeur était .-, les erreurs dont seraient affectées nos mesures seraient

(5) «l = Z — Oj. Uo == r — Oj, ..., u,„ = z — flm;

274 PRORABILITÉ DES ERREURS

et, a priori, la probabilité pour que les m expériences faites dussent fournir les valeurs trouvées, «,, a^, ...,a,„, aurait été mesuroo par le produit (4», c'est-à-dire

Elle se trouverait donc plus ou moins grande, suivant la valeur de r. On est ainsi conduit à déllnir comme étant la valeur c la plus probable (a posteriori), ceWe pour laquelle les valeurs mesurées présentaient (a priori) le maximum de probabilité.

Donc, pour les l'alcurs mesurées a^, a^ a,„. la valeur : la plus probable de la yrtin-

deur mesurée est, par définition, celle qui rend maximum le produit

(6) P = 3{-- — ai)?(; — a,) ... ç(: — a,„).

Cela posé, la loi de probabilité généralement adoptée est celle pour laquelle la valeur la plus probable z est la moyenne arithméti'jue des valeurs mesurées,

Gela revient à dire que la fonction z, devra satisfaire à la condition que le produit P soit maximum quand : est égal à la moyenne arithmétique des valeurs (arbitraires) Oj, a», . . ., Om, supposées données,