Moment d'un vecteur par rapport à un axe. — On appelle

moment d'un vecteur Y par rapport à un axe A le nombre qui mesure,

sur cet axe, la projection du moment du

vecteur V par rapport à un pniuL de Taxe ou encore le nombre qui mesure, sur cet axe, le moment de la projection

du vecteur V sur un plan perpendiculaire à Taxe pris par rapport au pied de l'axe sur le plan.

Sur la ligure, on a pris l'axe A comme axe des z. Le moment est mesuré sur Taxe par ±a6xOp, Op désignant la dislance de 0 au vecteur ab. Pour que ce moment soit nul. il faut et il suffit,

ou bien que ab soit nul, et le vecteur AB est alors nul ou parallèle à l'axe, ou bien que Op soit nul et ab passe alors par 0; dans ce cas, AB rencontre l'axe. Donc, pour que le moment par rapport à A soit nul, il faut et il suffit que le vecteur soit nul ou dans un même plan avec l'axe.

Le point p est la projection d'un point P du vecteur AB. La parallèle à pO, menée par P, rencontre 0: en Q : PQ est la perpendiculaire commune à A et à la droite AB: en effet PQ est perpendiculaire à A puisqu'elle est parallèle à Op et elle est perpendiculaire à AB puisqu'elle est perpendiculaire k ab et à Pp, donc au plan projetant AB. On aO/) = PQ=o; o^ est la plus courte distance du vecteur

et de l'axe. Soit a l'angle du vecteur AB et de Taxe; la longueur de ab,

projection de .\B, est V sina, le moment par rapport à l'axe a donc

pour expression :

Hz Vo sina.

8. Système de vecteurs. — Résultante générale. — Moment résultant. — On appelle système de vecteurs l'ensemble de plusieurs vecteurs.

Soit 0 un point quelconque de l'espace et soit un système de vec-

VECTEURS ET SYSTÈMES DE VECTEURS 295

leurs, V,, V.^, Vj, V^ par exemple. On appelle résnllnnti; ffénérale de ce système la somme géomélri(iue de ces vecli-urs. On appelle moment

r'snllant du système, fin point U, la somme géomt-trique OG des momerils des vecteurs par rapport au point 0. On appelle moment n'sultanl par rapport à un axe A, la somme des moments des vecteurs par rapport à A, Si l'on prend un point riuelconque 0 sur A, les moments des vecteurs par rapport à A sont les mesures des projections

sur A, des moments OG,, OG^, OG3, OG^ des vecteurs par rapport à 0. Leur somme est égale à la mesure de la projection sur A de leur

somme géométrique, c'est-à-dire tiu moment résultant OG. Donc :

Pour avoir le moment résulhint par rapport n un axe A, il suffit de projeter sur cet axe le moment résultant en un point 0 de l'axe.

Expressions analytiques. — Calculons les composantes X, Y, Z de la résultante générale et les composantes L, .M. N. du moment résultant à l'origine. On a :

X = X, -H X, 4- X3 -h \.= V X„ Y = Y,H-Y.,-4-Y3-+-Y, = i:Y„ Z = Z, -|-Z3-^-Z3-hZ,=lZ;; L = L. + U -+- L3 -^ L, = 1 L„ M = M, -+- M, -t- M3 -h M, = S Mi.

X,, Y,, Zm Li, M,, N, étant les coordonnées du vecteur V, (i := 1, 2, 3, 4).

Formons les composantes L', M', N' du moment résultant O'G' en un point quelconque 0'{x', y\ z') de l'espace. On a :

L';=L, — i/'Zj+:.'Y,,

L'., = L., — ij'Z,-^.z'\\,

d'où, en ajoutant,

On calcule de même M', N', on a donc :

Couple. — On appelle couple un système de vecteurs dont la résultante générale est nulle. Si l'on suppose :

VECTErnS ET SYSTEMES DE VECTEURS

dans les formules précédentes, elles donnent

Ainsi, dans un couple, le moment résultant est le même en tous les points de l'espace. Ce vecteur s'appelle axe du couple.

Le couple le plus simple est formé par deux vecteurs opposés : on l'appelle couple élémenlaire. En prenant le point 0 sur l'un des vecteurs V, le moment résultant se réduit au moment de l'autre vecteur V, puisque le

moment de V est nul, La grandeur de l'axe du couple est donc VxOH; OH s'appelle le bras de levier du couple.

C'est ce cas simple d'un couple de vecteurs qui a fourni le nom pour le cas général.

Système de vecteurs équivalent à zéro. — On dit qu'un système de vecteurs est équivalent à zéro quand la résultante générale est nulle et le moment résultant nul en tout point.

Il suffit que la résultante générale soit nulle et que le moment résultant soit nul en un point particulier 0; en effet, pour le moment résultant en un autre point 0', les formules qui donnent L', M', N' montrent que ces nombres sont nuls lorsque X, Y, Z, L, M, N sont nuls.