V-=y:.H- v],, OU
'ds\- /dr.\- ./dOV
/ds\- /d)'.\- 0 /rfO\2
et, en multipliant par dt-, on obtient, pour la différentielle de l'arc de courbe, la formule
ds- = dr--\-r-dfi-.
Déterminons l'angle U de la tangente à la trajectoire et du rayon polaire 0 : c'est l'angle du vecteur vitesse et de ce rayon polaire, et tgU est la pente de ce vecteur vitesse par rapport à ce même rayon polaire. Donc,
df)
, ■,. r„ dt rdO
tgL =-i= = -.
" V,. dr dr
Jl
Si U est nul en tous les points, c/û est nul et 0 est constant. La trajectoire est un rayon polaire. Donc, si la vitesse en chaque point d'une trajectoire plane passe par un point fixe 0, la trajectoire est une droite issue de 0.
CINÉMATIQUE DU POINT. — VITKSSE 305
llcDiarquc II. — Les composantes de la vitesse suivant Ox et suivant le rayon polaire Oy d'angle polaire ^ sont
dx (/(rcos6)
^^~Tt~ Tt • d}l rf(rsinO)
"""—oit— Tt
Nous aurions pu calculer iv et Vp en projetant, sur les rayons polaires correspondants, le vecteur de composantes v-, et v,^. Donc : si un
vecteur a pour composantes, suivant les rayons polaires 0 et -, les
. (/(rcosO) , (/(rsinO) nombres ^^ — et -^-^^ — \ ses composantes, suivant les rayons
polaires 0 et 0 + ^, sont -r- et r-j-.
Remarque III. — Étant donnés une trajectoire plane et un point fixe 0 de son plan, la composante de la vitesse suivant le rayon
polaire issu de 0 est ^. Si on choisit un autre point fixe 0', la composante suivant le nouveau rayon polaire est -77-, r' désignant le nouveau
rayon vecteur. Pour avoir
le vecteur vitesse quand
dv on connaît les valeurs de -jj
dv' et -TT, il suffit de porter
sur les rayons polaires OM p^ et O'M des segments MA
et MA' mesurés par 77 et -tt- Les perpendiculaires aux rayons polaires
menées par les points A et A' se croisent à l'extrémité P du vecteur vitesse.
Quand un point M décrit une courbe, il existe une relation o{r, r') = 0 entre les rayons vecteurs issus de deux points fixes 0 et 0', puisque le point M de la courbe étant déterriiiné quand on connaît r, le nombre r' est déterminé lorsque r est connu. L'équation o{r, r') = 0 s'appelle l'équation de la courbe en coordonnées bipolaires. Par exemple, l'équation bipolaire d'une ellipse de foyers 0 et 0' dont le grand axe a pour longueur 2a est
r-+-r'=^'ia.
306 CINEMATIQUE
La remarque précédente donne un moyen de construire la tangente à une courbe quand on connaît son équation en coordonnées bipolaires. II suflil de considérer la courbe comme une trajectoire et de porter sur les rayons polaires, à partir du point considéré, des segments MA.
et MA' mesurés par -7- et ^ ou des segments MB et MB' mesurés par
des nombres proportionnels, dr et dr'. Les perpendiculaires en B et B' aux rayons vecteurs OM et OM' se croiseront en un point Q de la tangente en M puisque, MB et MB' étant proportionnels à MA et MA', la figure BQB' est homothétique de la figure APA' dans une homothétie de centre M; et les points homologues V et Q sont alignés sur M.
Pour l'ellipse, par exemple, on a :
dr'i-dr' = 0,
les segments MB et MB' sont mesurés par des nombres opposés; on prendra, par exemple, MB = -i-l, MB' = — 1. Ici, les triangles MBP et MB'P étant égaux, on voit que la tangente bissecte extérieurement les rayons vecteurs.
Réciproquement, si la tangente à une courbe bissecte extérieurement les rayons vecteurs, les nombres MA et MA' sont opposés, donc :
dr H- dr' = 0
La courbe est une ellipse.
On pourra appliquer la même méthode aux courbes :
r — r' = 2a. (Hyperbole), r-f-»r'^a, (Ovales de Descartes),
rr'^/i-, (Ovales de Cassini),
u, a, k étant des constantes.
Mouvement circulnire. — Vitesse angulaire. — Comme exemple de mouvement plan, prenons les mouvements dont la trajectoire est une circonférence, ou mouvements circulaires.
Soit R le rayon du cercle de centre 0 et 0 l'angle que fait, avec une direction lixe Oa;, le rayon OM de la position M du mobile à l'instant /. Comptons les arcs à partir du point A où l'axe Ox perce la circonférence et prenons eoiiime sens positif, sur la circonférence, celui qui correspond au sens positif des angles 0.
On a i= RO, d ou : u=: -y- = R-r-.
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