CINÉMATIQUE DU POINT. — VITESSE
moment du vecteur vitesse V par rapport au point 0; en eflel, la
valeur absolue de r'--Tj=r'XVj,
mesure l'aire du parallélogramme
■ — >- —> construit sur OM et V et le signe
est bien celui de -7-. La vitesse at
aréolaire est la moitié de ce nombre.
Les composantesdeV par rapport
rv r» . dx . dy
aux axes Oa?, Oy sont -rp ^^ -jfj
dl
dt
son momt-nt par rapport à 0 est 0
mesuré sur 0:; par x^ — y dû' ^^ vitesse aréolaire a donc pour
expression, en coordonnées cartésiennes,
dl —^l\dl
dx
14. Coordonnées semi-polaires ou cylindriques. — Il est souvent commode de déterminer un point M de l'espace au moyen de sa cote
z par rapport à un plan o'Oj/ et des coord onnées polaires r et 0 de la projection m de ce point sur le plan. Les nombres r, 0, :sonl les coordonnées semi-polaires ou cylindriques du point M. Quand le point M est mobile, les nombres r, 0, z sont des fondions du temps.
CINEMATIQUE
La vitesse du point M sera déterminée par sa composante v^ et sa composante dans le plan parallèle t\ xOy passant en M.
Celle dernière composante est égale à la vitesse du point m, projection de M sur xOy et on peut la déterminer par ses composantes v,. et Vp. En menant par M les composantes parallèles, on voit que la vitesse est déterminée par ses composantes suivant trois directions formant un triédre Irireclangle : les direclious parallèles au plan aOy d"angles
polaires 0 et 0sont :
et la direction 0:. Les valeurs des composantes
rfo
'lit'
(h dt
Remarque. — En calculant la grandeur de la vitesse, on a
drv
rM
rfO\
fdz\-
OU
\dt ) \dl ds- = dr- -h r-df)- + dz"-.
15. Coordonnées polaires dans l'espace. — Un point M de Tespace peut être déterminé par ses coordonnrrs polaires r, o, 0. La coordonnée r ou rayon vecteur est le nombre qui mesure le segment OM
sur un axe Oa choisi sur la droite OM; la, coordonnée cp ou longitude est l'angle que fait le plan rDM avec un plan fixe sOrr; la coordonnée 6 ou colatitude est l'angle que fait l'axe OiJ. avec l'axe 0:. Lorsque le point M est mobile, les nombres r, o, 0 sont des fonctions du temps t. Nous déterminerons la vitesse par ses composantes suivant trois
CINKMATIQUE l)V l'OINT. — VITIISSE 3H
directions rectan^'ulaires. La composante suivant l'axe Oa sera Vr\ dans le plan :0M, la composante suivant lo rayon polaire d'angle 0 -h ^ sera t'o; sur la normale au plan lOM, parallèlemenl au rayon polaire du plan xOxj d'angle cp-f-;^, nous aurons la composante v,. Cette dernière composante se calcule aussitôt, car elle est égale \ la composante, suivant le rayon polaire du plan x()\\ et d'angle o -f- ^, de la vitesse du point ?n, projection de M sur le plan a^Oy ; sa valeur est :
dt dl
Pour calculer v,. et t»», figurons les axes Ou, Os dans le plan zOM. Ces composantes sont dirigées suivant les rayons polaires d'angles 6
etO + |.
Les composantes suivant les axes 0: et Ou ont été calculées dans le paragraphe précédent car Uw, o, z sont les coordonnées semi-polaires de M, ce sont :
dz rf(r cos6)
Tt ~ di '
dOm d{r sinO)
dl ~~ di
Or, nous avons vu au paragraphe 12, remarque II, que, dans ce cas, les composantes v,- et v sont -r- et r -7-, nous avons donc :
dv rdO ■ r,d'i>
Remarque. — En calculant la grandeur de la vitesse, on obtient : '(/^V (drV- , ofday- , . ., /f/-y ^Ti)=[dt)-'-'^-[dt] +'-^'"-K-^.
d'où
ds^- = dr- -h 7'-d(i^ -+- r- sin-Orf-^-.
16. Conclusion. — En résumé, le vecteur vitesse à l'instant / donne une idée du mouvement pour un petit moment autour de cet instant. Si Ton confond la trajectoire avec sa tangente, le vecteur vitesse indique la direction et le sens du mouvement; si l'on confond le mouvement avec un mouvement uniforme, la grandeur du vecteur vitesse indique la vitesse de ce mouvement uniforme.
Mais il est essentiel de connaître l'unité de longueur et l'unité de temps, sinon le nombre qui mesure la grandeur de la vitesse n'a aucune signification.
