CHAPITRE III
HODOGRAPHE. — ACCÉLÉRATION
17. Définition du vecteur accélération — Un mobile M décrivant une trajectoire (C), nous nous proposons de nous rendre compte avec précision des variations du vecteur vitesse. Pour cela, menons par un
point fixe 0, un vecteur Om égal au vecteur vitesse V du point M: lorsque M varie, le point m décrit une trajectoire (H) appelée hodographe du mouvement du point M.
A l'instant t où le premier mobile est en M, Le mobile m qui décrit
riiodographe a un vecteur vitesse W. Le vecteur J d'origine M et égal
à W s'appelle le vecteur accélération, à l'instant /, du mouvement du peint M.
Composantes de l'accélération. — Si le point 0 est l'origine des coordonnées, le point m a pour coordonnées
dx , rf7 = ^'
dz dt
HODOGRAPHE. — AnCKLKRATION 313
la vitesse du point m a pour composantes
dx^d}x „ dy' rf*V » dz' d-z „
— >- Les composantes de l'accélération J sont donc les dérivées secondes
des coordonnées par rapport au temps.
Les expressions de ces composantes sont les mômes en coordonnées obliques puisqu'il en est ainsi pour les composantes de la vitesse de 7/1.
De l'expression de ces composantes, on lire des conclusions relatives à la projection du mouvement sur un plan ou sur un axe, semblables à celles que Ton a obtenues pour la vitesse.
[ipmnniup I. — Le plan P déterminé par les vecteurs V et J ne
dépend que de la courbe (C) et demeure le même quelle que soit la loi du mouvement. En effet, les droites Om engendrent un cône de sommet 0, appelé cône directeur des tangentes à la courbe (C). Le plan déterminé
par la génératrice Om et la tangente W à la courbe (H) tracée sur ce cône est le plan tangent au cône le long de la génératrice Om. Ce plan
demeure invariable quelle que soit la loi du mouvement. Le plan V, J. qui lui est parallèle, est aussi invariable.
Le plan tangent au cône directeur le long de Om est la position limite du plan mOm'. passant par deux génératrices voisines. Donc le
plan V, J est la position limite d'un plan passant par V et parallèle au
vecteur vitesse V en un point voisin M' quand le point M' vient coïncider avec le point M.
Ce plan est le plan osculateur à la courbe (C) au point M.
Nous avons supposé que les vecteurs V et J déterminent un plan. Il pourra arriver, en certains points exceptionnels de la courbe (C), que ces vecteurs soient portés par la même droite. Je dis que, s'il en est ainsi en tous les points de la courbe (C), cette courbe est une droite. Dans ce cas, en effet, la tangente en chaque point de la courbe (H) passe par un point fixe 0. Projetons (H) en (HJ sur un plan (Pj passant par 0. La tangente à la courbe plane (H,) passe toujours en 0 : nous avons vu précédemment que (H,) est une droite issue de 0. Donc, la courbe (II) se projette suivant des droites passant par 0 sur deux plans quelconques (P) et (P' , menés par 0. Elle est donc ellemême une droite (H) passant par 0, intersection des plans projetantssur (P) et(P').
Il résulte de ce qui précède que la tangente à la courbe (C) a une direction fixe. Il en est de même pour la projection (C,) de cette courbe
314 CINEMATIQUF
sur un plan quelconque (Q) : donc (C,) est une droite parallèle h la projection de la direction fixe, puisque, dans le plan (Q), la dérivée de l'ordonnée de (C,) considérée comme fonclion do l'aNscisse est une constante. On en déduit, en raisonnant comme pour la courbe (11), que (C) est une droite.
En définitive, ce n'est que dans le mouvement recliligne que l'accélération et la vitesse sont toujours porléos par la mémo droite.
liemarque 11 . — Si lo mouvement est uniforme, la longueur Om est constante; l'hodographe est tracée sur une sphère de rayon V. C'est l'intorsoclion de cotte sphère et du cône engendré par les demi-droites parallèles aux vecteurs vitesses. Si de plus, la trajectoire est plane, l'hodographe est un cercle.
Dans le mouvement uniforme, la courbe (II) étant une courbe sphé-
rique, la tangente à cette courbe est tangente à la sphère, donc per-
— > -> pendiculaire à Om. Donc les vecteurs V et J sont perpendiculaires.
Réciproqu-euionl, si l'accélération est toujours normale à la vitesse,
le mouvement est uniforme. En ofTet, la projection sur 0?n du vecteur
W, vitesse du point»!, est nulle. Or, celte projection est mesurée par
■7- sur la direction positive de la tangente à la courbe (C). Donc -t- = 0
et'u est constant.
Supposons, en particulier, y = 1 ; l'équation du mouvement sur la trajectoire est s = f. Dans ce cas, l'hodographe {h) est tracée sur la
sphère de centre 0 et de rayon 1. La vifesse ^w au point jj. correspondant à M définit une direction MN normale à la courbe et située dans le plan osculateur. Cette direction est appelée la direction positive de \si7iormale principale b^ la courbe (G) au point M. Elle est indépendante du sens choisi comme sens positif sur (C). En cfTet, changeons le sens positif des arcs sur la courbe (C), le nouveau mouvement s=ii s'effectuera en sens contraire du précédent et la nouvelle hodographe {h') sera symétrique de {h) par rapport au point 0.
Soit jx'/r' la vitesse au point ix' correspondant à M; le point |j., symétrique de p.' par rapport à 0 se déplace maintenant sur (//) en sens contraire du sens de son déplacement précédent, sa vitesse est opposée
à ii.ro, donc la vitesse de a', qui est symétrique de celle-ci par rapport à 0, est égale à \j,w.
La tangente en M à la courbe (C) partage le plan osculateur en deux demi-plans dont l'un contient la demi-droite normale menée dans la direction positive et que nous appelerons demi-normale principale positive. Le centre de courbure est, comme on sait, sur cette demi-droite.
nODOGRAPHE. — ACCELERATION
^.JC
Remarque III. — L'accélération est toujours contenue dans le demi-plan qui coiitionl la derni-normalc! principale positive : autrement dit, elle est dans la concavité de la Irajeoloire.
En ell'el, su[)posons v positif;
ds
-7T étant positif, s croît avec /,
M se déplace dans le sens posilif
sur(C); iJL et m sont du même
côté du point 0, les vitesses
en <x et m sur les courbes {h)
et (H) sont du môme côté de la
droite a'Oa dans le plan tangent
au cône directeur, hi y = -?- est
(il
négatif, a' et ni sont du même
côté de 0, les vecteurs \V et il' w' sont aussi du même côté de ;xOia'. Donc, dans tous les cas,
W est dans le même demi-plan.
Il en résulte que le vecteur, projection de l'accélération sur la normale à la courbe (C), est toujours porté par la demi-normale principale positive.
18. Accélération tangentielle. Accélération normale. — Projetons
e vecteur accélération J sur la tangente à (C) en M et sur la normale principale à (Cj en M. Le nombre y/ qui mesure sur la tangente positive la projection du
vecteur J s'appelle Vaccélcradon tangentielle. Le nombre y,, qui mesure, sur la direction positive de la normale principale, la projection du
vecteur J s'appelle Vaccélération normale ou accélération centripète. D'après la remarque précédente, ce nombre est toujours positif.
Ainsi, les accélérations tangentielle et normale ne sont pas des vecteurs, ce sont des nombres.
Pour les calculer, prenons comme axe des ::, la direction 0;j. de la tangente positive; comme axe des x., l'axe parallèle à la direction aw de la normale principale et déterminons un point m' de Ihodographe (H) par ses coordonnées polaires t', 0, -i. L'accélération tangentielle est la projection sur le rayon vecteur U: de la vitesse du point m, sa
valeur est -j-- L'accélération normale est la projection de la même
316 CINEMATIQUE
vitesse sur le rayon d'angle polaire 6-f-^, dans le plan zOx, lorsque 6 est égal à zéro, en supposant v positif. Sa valeur est w-jt; or :
rfO rfô rfs 1
dt ds ' dt f ■ '
en désignant par - la courbure de la courbe (C) au point M. En effet,
do est Tangle de deux tangentes positives voisines, d* la longueur de
l'arc qui les sépare : le rapport -r- est, par définition, la courbure
en M. On a donc :
d()v\ ^ dt— o'
on obtient le même résultat lorsque v est négatif. Par conséquent,
dv V-
Nous voyons que raccélération tangentielle dépend du mouvement et non de la forme de la trajectoire; que raccélération normale dépend du mouvement et des propriétés géométriques de la trajectoire.
Si Y( = 0- 1 accélération est toujours normale à la trajectoire; le mouvement est uniforme. Si Vn^O, l'accélération est toujours tangente à la trajectoire; nous avons vu qiie le mouvement est rectiligne.
Or, si Yn = 0, 7 = 0; donc, si la courbure est nulle en tous les points
d'une courbe, cette courbe est une ligne droite.
Remarque. — On peut mettre l'expression de l'accélération tangentielle sous une forme où le temps ne figure pas explicitement. On a,
en effet
dv dv ds do
'^'~dt~ds-'dt~^ds'
ou '
1 rfy2 L
■•' — 2-rf7"
19. Mouvement plan. — Composantes de raccélération en coordonnées polaires. — Construisons l'hodographe ayant pour origine le pôle 0
des coordonnées polaires. Le vecteur 0//z est la somme des vecteurs Om, et Om.j,, mesurés respectivement par -j- sur l'axe 0; danglc
polaire 0 et par r-r- sur l'axe Ou d'angle polaire 0-+-^. La vitesse W
HODOGRAPHE.
ACCELERATION
du point m est la somme géométrique des vitesses de m^ et m^. Calculons les composantes de ces vitesses suivant 0: et Ou.
Les coordonnées polaires de Tn^ sont ^ et 6; les composantes de sa vitesse seront :
sur Oô;
dr dJi dt ' dt
sur Om.
do
Les coordonnées polaires de m,, sont r-j- et 0-+-^; les composantes de sa vitesse seront -n^'j; ) sur Ou et f r-j- \ -j- sur Taxe d'angle polaire
Ces composantes seront donc
2 drda
(dbV
sur 0:;
dl dt
d-9 'df"
sur Ou.
Les composantes de l'accélération J s'obtiennent en ajoutant les composantes précédentes. Nous aurons donc :
d^r dt^
dO\dt
dH cdrdfi df'^ dt dt
La valeur de yp peut être mise sous une autre forme; on a :
c'est-à-dire
et
,d^ dr^ do '"^P — '■■ dt^ dt' dt'
~dt\ dt)
__id^{ .dO\ ^^ — rdtV'dtJ'
318 GINÉMATigili
Ainsi, la composante y^ f^iiil iulervenir la vitesse aréolaire
rfS l jrfO dl—^f dt'
20. Mouvements à accélération centrale. — Loi des aires. — Si la
vitesse aréolaire est constante, f'-j- est constant et y? est nul, Taccé-
lération est dirigée suivant le rayon vecteur OM. Inversement, supposons que, dans un mouvement pian, l'accélération soit toujours dirigée suivant le rayon vecteur, on a :
La vitesse aréolaire est constante; l'aire balayée par le rayon vecteur est proportionnelle au temps employé pour la balayer; C représente le double de l'aire balayée dans l'unité de temps, c'est la constante des aires. Cette constante est égale à Taire du parallélogramme construit sur le vecteur vitesse et le rayon vecteur. On dit que le mouvement s'effectue suivant la loi des aires.
Si, en un point de la trajectoire, la vitesse et l'accélération sont portées par la même droite, c'est-à-dire si la vitesse passe au point 0,
C est nul; -— est alors constamment nul (!t le mouvement est reetiligne. (ft
Si C n'est pas nul, -r-. garde un signe constant; donc, quand un
mouvement a lieu suivant la loi des aires, le rayon vecteur tourne toujours dans'le même sens.
On dit qu'un mouvement est à accélération centrale lorsque la droite qui porte le vecteur accélération passe par un point fixeO; ce point s'appelle centre des accélérations. Nous venons de voir que lorsqu'un mouvement est plan et s'effectue suivant la loi des airns autour d'un point 0, l'accélération est centrale et le point 0 est le centre des accélérations. Réciproquement, on peut énoncer la proposition suivante :
THÉ0Hb:ME — Dans un mouvement à accélération centrale, la trajectoire est plane et, dans son plan, le moitvon ent s'effectue suivant la loi
des aires.
—y En effet, soil 0 le centre des accélérations, V ne passe pas toujours
par 0, sinon la trajectoire serait une droite issue de 0. Soit alors M un
point de la trajectoire (G) en lequel les vecteurs V et.) déterminent un plan (P).
HODOGRAPHE. — ACCKLKIIA TIO.N
rroji't'dis la courho (C) sur un plan (Qj passaul par 0 et perpendiculaire au plan (P) el soil M, la projection du poiul M.
I.a trajecloire {C^), projection de (C), est une courbe plane et l'accélé-
ration J, du mobile qui parcourt (C,) va passer par le point 0, c<jninic
raccclcralion J dont J, est la projection. La constante des aires est nulle puur la courbe (C,), puisque la vitesse au point particulier Mj, [)ro-
jection du vecteur V, va aussi passer par 0. Donc (Cj, est une droite, intersection des plans (P) et (Q); par suite, (C) est une courbe plane contenue dans le plan (P) et, dans ce plan, la courbe est décrite suivant la loi des aires. Il en résulte que les
vecteurs V et J ne sont jamais portés par la même droite et que le plan (i*) est déterminé par les vecteurs vitesse et accélération en un point M quelconque de (C).
Conséquences. — Supposons que, pour une trajectoire (C), l'accélération rencontre toujours une droite lixe A. La projection orthogonale de la courbe (C) sur un plan (P) perpendiculaire à A est décrite suivant la loi des aires. En eiïet, la projection de l'accélération sur le plan (P) passe par un point fixe, trace de A sur le plan (P).
De même, si l'accélération d'un mouvement rencontre deux droites fixés A et A', les projections de la courbe (C) sur deux plans perpendiculaires, l'un à A, l'autre à A', sont décrites suivant la loi des aires.
21. Composantes de raccélération en coordonnées cylindriques. — Soient r, 0, z, les coordonnées cylindriques dun puint M de la trajectoire : nous détermin>3rons les composantes de J suivant les mêmes direclions que pour le vecteur V. La composante parallèle à 0: est :
Pour avoir les autres composantes, il suffit de les calculer pour la projection du point M sur le plan des xij; on obtient ainsi
'•'~dl' \dt) ' ^P~rdtV dt)
CINEMATIQUE
22. Exemples de mouvements. — I. — Mouvement circulaire. Reprenons le mouvement circulaire : on a, dans ce cas,
do
dt '
en désignant par R le rayon du cercle et par o la vitesse angulaire. On obtient alors :
o,j r.di
^^=''dt
Le nombre o' s'appelle V accélération angulaire du mouvement.
Si le mouvement est uniforme, w' est nul, l'accélération est normale et sa valeur loHi est constante.
Dans ce cas, l'hodographe est un cercle de rayon wR parcouru avec la vitesse angulaire constante w.
Prenons, par exemple, un volant de 2 m. de rayon. En marche normale, il tourne d'un mouvement uniforme avec la vitesse de 80 tours par minute. La période de mise en marche dure 90 secondes pendant lesquelles la vitesse est supposée croître proportionnellement au temps compté à partir du début de la mise en marche.
Prenons comme unité de longueur le mètre; comme unité d'angle, le radian; comme unité de temps, la seconde. Pendant la période
normale, la vitesse angulaire est de ^ . = 8,38; la vitesse dun point
M de la circonférence du volant est de
L'accélération angulaire est nulle; Taccélération du point M est normale et sa valeur est
Pendant la mise en marche, o)' est constant puisque i» est proportionnel au temps; la valeur de w' est le quotient -^"7^ = 0,093; l'accélération tangentielle d'un point du volant a la valeur constante 0,093x2 = 0.19 m. /s. Quant à l'accélération normale, elle part de 0 et croît, jusqu'à la valeur finale 140,4.5 m. /s-, proportionnellement au carré du temps écoulé, puisque to est proportionnel à ce temps. Le
HODOGRAPHF. — ACCKM.RATION 321
vecteur accélrmlion, d'ahord très voisin de la tangente, se rapproche peu à peu du rayon du volant.
il. — Mouvement vibratoire simple. — Supposons que le point M décrive, dun mouvement uniforme de vitesse angulaire oj, une circonférence de rayon a et soit P, la projection du point M sur un diamètre fixe Ox du cercle. Le mouvement de P est dit : vibratoire simple. Tout point dont le mouvement suit la mènie loi que celui de P est dit animé d'un mouvement vibratoire simple.
.\ppelons -j l'angle du rayon OM avec l'axe Oy perpendiculaire à Ox il l'instant 0; à l'instant /, cet angle sera 0 = (of 4-9, et l'on aura
.r=:(JP=:OM sinO=ra sin(co< 4- '{'),
X désignant l'abscisse de P. L'équation du mouvement rectiligne de P est donc
x = a sin(t.)/H- cp).
Le mobile oscille indéfiniment entre bs positions A et A', extrémités du diamètre 0>r. Lorsque oj/ augmente de 2-, c'est-à-dire lorsque t
augmente de — =:T, x reprend la même valeur; il en est de même de
la vitesse
r = aco cos(a)<-h ») et de l'accélération
Y = — a M- sin (oj t -\- o).
C'est pourquoi le mouvement est dit périodique.
LçL période est T = — . Le nombre fp = N qui représente, s'il est
entier, le nombre des périodes par unité de temps, s'appelle la fréquence. La longueur a s'appelle Vamplitude et l'angle wZ-i-cp, la, phase du mouvement au temps t; cp est la phase initiale. On peut écrire
ce qui montre que l'accélération du point P est toujours dirigée vers le point 0 et que sa grandeur est proportionnelle à OP. On le verrait aussi en projetant sur Ox l'accélération du point M.
Au mouvement vibratoire simple se rattachent le mouvement : x = Xq-+' vJ 4- a sin (10 1 4- '*),
ou mouvement périodiquement uniforme (r^ et v^ sont des constantes) et le mouvement
x=: ae~''sin(u)f 4-^),
ou ynouvcmenl périodique amorti (l constante positive).
322 CINEMATIQUE
III. — Hélice. — Mouvement hélicoïdal. — Supposons que la surface d'un cylindre circulaire ait clé fendue suivant une génératrice G et que l'on déroule sur un pian la surface de ce cylindre, comme on ferait d'un rouleau cylindrique de papier dont on négligerait l'épaisseur. Une section droite (C) du cylindre donnera, dans le développement, une droite (G,) et un point P de celle section viendra en Pj de manière que la longueur de l'arc AP soit égale à la dislance AP,, puisque, pendant le déroulement, "tous les éléments de cet arc AP viennent s'appliquer sur ceux du serment AP^. Toute courbe tracée sur le cylindre donnera, dans le développement, une courbe plane correspondante; inversement, si on enroule de nouveau la surface, toute courbe tracée sur le plan donnera une courbe tracée sur le cylindre. Si l'on trace sur le plan une droite (H,), on obtient par enroulement une courbe appelée hélice.
Une hélice est donc une courbe obtenue en enroulant sur le cylindre une surface plane sur laquelle on a tracé une droite. Quand on a fait un tour, la portion AÂ, de la droite est venue s'appliquer sur l'arc AA' de l'hélice; cet arc est une .^pi7'e, ses extrémités sont situées sur une même génératrice. La longueur AA' s'appelle le pas de l'hélice; c'est la distance qui sépare deux points de rencontre consécutifs de l'hélice et d'une génératrice quelconque.
Soit M, le point de la droite qui vient se placer en M sur l'hélice, le
M P rapport -^^ est constant, c est la pente de la droite (Hj par rapport
à la droite (Cj; or AP, est égal à l'arc AP et les longueurs M,Pi et MP sont égales.
MP Donc, le rapport r-^ est constant et cette propriété caractérise
l'hélice. On arriverait aux mêmes définitions et aux mêmes résultats pour une hélice tracée sur un cylindre quelconque.
Dans le cas du cylindre circulaire, l'hélice est dite hélice circulaire. Prenons comme axe des :: l'axe du cylindre et comme plan des xy le plan du cercle (C), Taxe Ox passant par le point A. Soient r, 6, z les coordonnées cylindriques d'un point M de l'hélice ; r est le rayon du
cylindre, il est constant; on a, d'autre part, arc AP=:rO, donc -^ et,
par suite, ^ est constant : z = kO. Quand on fait un tour, 0 augmente de 2ï: et s augmente du pas h; donc h = 'iT.k; la constante k est égale à si'' ®" l'appelle le pas réduit. Lorsque la cote : du point M augmente,
0 peut augmenter ou diminuer. S'il augmente, P tourne dans le sens de Ox vers Oj/, on dit que l'hélice a le sens direct. Si 6 diminue, l'hélice a le sens inverse. Le calcul précédent a été fait dans l'hypothèse d'une
HODOGRAPHE.
ACCKLERATION
liélice diroclo; pour une liùlice inverse, il faudrait prendre /i:= — ^ •
Avec la disposition hahituellc de nos axes de coordonnées, il faudrait supposer que la droite (Hj a une pente négative par rapport ù (Cj.
fci
An
Mt
Les arêtes des vis ou des tire-bouchons ont le sens direct. Il importe de se rendre conripte que le sens direct ou inverse d'une hélice ne dépend pas du sens choisi comme sens positif sur Taxe du cylindre. On peut remarquer aussi que si Ton se met en face d'une hélice, d'un ressort à boudin, par exemple, dont on place l'axe verticalement, on voit la courbe monter de gauche à droite quand l'héli ce a le sens direct, de droite à gauche, quand elle a le sens inverse. Et le résultat demeure le même quelle que soit l'extrémité du ressort que Ton place en haut.
Remarque. — Si /t tend vers zéro, l'hélice vient se confondre avec la circonférence (C); si h croît indéfiniment, elle vient se confondre avec la génératrice (G).
Lorsque la trajectoire d'un point est une hélice, on dit que le mouvement est hélicoïdal. Supposons l'hélice circulaire, z et 0 sont des fonctions du temps <, liées par l'égalité :
d'où l'on déduit
dz ,rfO ,
Tt-^Tt — "'"' u) désignant la vitesse angulaire.
CINEMATIQUE
Los composantes de la vitesse en coordonnées cylindriques sont
rdf)
dz.
dr
Le quotient — est constant, donc la tangente à l'hélice fait un angle
constant avec la génératrice.
Calculons les composantes de l'accélération; supposons w constant,
y, et ^4 sont constants, doncaussi v, et le mouvement est uniforme. La composante y. est nulle et l'accélération est parallèle au plan des xy. Elle est égale à raccélération du point P dont le mouvement est circulaire. Cette accélération, dirigée de P vers 0 sur le rayon OP, a pour valeur o>-r. Donc, l'accélération J du point M est dirigée suivant la normale en M au cylindre J/ et sa grandeur est oj^/'.
Ainsi la normale principale MN à l'hélice est la normale au cylindre, le plan osculateur NMV est normal au cylindre.
Calculons le rayon de courbure p de l'hélice au point M : on a
Or, donc
Ainsi le rayon de courbure de l'hélice est constant. Si le mouvement n'est pas uniforme, l'accélération de P a une composante — oA' suivant le rayon d'angle polaire 0 et une composante rw'
suivant le rayon 0 -h ^; on a alors :
