CHAPITRE IV
MOUVEMENT D'UN CORPS SOLIDE
Nous n'étudierons pas le mouvement le plus général d'un corps solide. Nous nous bornerons à l'examen de quelques cas particuliers importants au point de vue théorique comme au point de vue pratique. Dans chaque cas, nous déterminerons la vitesse et l'accélération en chaque point et à chaque instant ou, comme l'on dit, la distribution des vitesses et celle des accélérations à un instant t. Les mouvements particuliers étudiés seront :
1° Le mouvement de translation;
2" Le mouvement de rotation ;
3° Le mouvement hélicoïdal.
23. Mouvement de translation. — On dit qu'un corps solide est animé d'un mouvement de translation lorsque tout segment AB qui a pour exlrémités deux points quelconques du corps conserve une direction invariable.
Dans ce mouvement, toutes les trajectoires sont des courbes égales. En effet, on passe de la trajectoire Ca, décrite par un point quelconque A, à la trajectoire Cb, décrite par un point quelconque B, à l'aide d'un déplacement qui est une translation géométrique délinie
par le vecteur AB.
A un même instant t, les vecteurs vitesses de tous les points sont égaux. Soit, en effet,
OP le vecteur égal au vecteur AB, ayant ^ pour origine un point fixe 0. Le point P
est fixe puisque le vecteur AB garde une direction, un sens et une grandeur constants. Comme nous lavons vu, le vecteur vitesse de B
CINÉMATIQUE
est la somme du vecteur vitesse de A et de celui de I?. Comme ce dernier est nul, les deux premiers sont égaux.
Réciproquement si les vitesses de tous les points d'un corps sont toujours des vecteurs égaux, ce corps est animé dun mouvement de
translation. Il suffit de montrer que le vecteur AB qui joint deux points quelconques du corps a une grandeur, une direction et un sens invariables. Or, la vitesse de P est la différence des vitesses de B et de A; elle
est donc nulle; P est immobile, donc OP est invariable; AB qui lui est égal, u'en diffère que par l'origine et le mouvement est une translation.
Dans un mouvement de translation, les vecteurs accélérations de tous les points sont égaux à chaque instant. En effet, les vecteurs vitesses de deux points A et B étant constamment égaux, les hodographes construites à partir d'un point 0 sont identiques.
Le mouvement d'un tiroir par rapport au meuble qui le contient, d'un couvercle à glissière par rapport à la boite, d'une porte à coulisse, sont des mouvements de translations rectilignes.
Le mouvement d'une bielle d'accouplement de deux roues d'un même côté d'une locomotive est un mouvement de translation circulaire. Tous les points de la bielle décrivent des circonférences égales avec à chaque instant, des vitesses et des accélérations égales.
24. Mouvement de rotation. — On dit qu'un solide est animé d'un mouvement de rotation autour d'un axe A lorsque les points du solide qui coïncident avec Taxe demeurent immobiles. Si le solide ne rencontrait pas l'axe, il suffirait de l'incorporer dans un solide plus grand le rencontrant.
Dans ce mouvement, toutes les trajectoires sont des circonférences dont les plans sont perpendiculaires à Faxe et dont les centres sont situés sur Caxe.
Supposons que l'on transporte le trièdre de coordonnées de manière que 0: vienne sur l'axe A : si les circonférences C sont décrites dans le sens de Ox vers Oj/, on dit que le mouvement de rotation est direct par rapport à l'axe orienté A; si les circonférences sont décrites en sens contraire, on dit que le mouvement de rotation est inverse par rapport ;i A.
MOUVEMENT I) IN CORPS SOLIDE 327
Soit 0 l'angle du rayon ('.A avec une position initiale CA,,, les angles étant comptés positivement dans le sens direct; tous les points du corps ont tourné du même angle 0 depuis le moment où A était en A^;
la vitesse angulaire co=-^-du point A est la même pour un autre
point quelconque B : on dit que c'est la vitesse angulaire de rotation du corps.
La vitesse du point A est un vecteur d'origine A, de grandeur C\x|w|, perpendiculaire au plan AC: dans le sens des 0 croissants ou décroissants, suivant que w est positif ou négatif à l'instant t. Ce
vecteur V est donc le moment, par rapport au point A, du vecteur porté par 0: et mesuré sur cet axe par le nombre m. Donc :
La vitesse, en chaque point A du solide, est le moment par rapport à ce point d\in vecteur placé sur l'axe de rotation et mesuré sur cet axe par le même nombre que la vitesse angulaire.
Si l'axe do rotation a été pris comme axe des :. la vitesse du point X, y, - est le moment du vecteur 0, 0. o par rapport au point r, j/, ;; ses composantes sont
0)»/. — (ocr, 0.
L'accélération de chaque point est l'accélération d'un mouvement circulaire.
En prenant des coordonnées cylindriques, les composantes de la vitesse et de l'accélération sont :
V =zi,)r.
■fz = 0.
La rolalion diurne de la Terre autour de la ligne des pr>les nous donne un exemple de mouvement de rolalion d'un solide. La durée de la révolution est égale au jour sidéral qui contient 235.91 s. de moins que le jour moyen. La rolalion est uniforme et sa vitesse angulaire est :
'" = 24 XOO^I 235,01 = '-^ X ^^''-
Le mouvement se fait de l'ouest à Test. La vitesse *•> est naturellement un peu plus forte que la moitié de celle de l'aiguille des heures d'une horloge.
Pratiquement, on réalise un mouvement de rotation d'un solide par rapport à un autre solide en fixant à ce second solide deux points du premier. C'est ce qui se passe pour une porte qui tourne autour de ses gonds, un couvercle de boite qui tourne autour de ses charnières, l'arbre d'une machine qui tourne sur ses coussinets.
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25. Mouvement hélicoïdal. — On dit qu'un solide est animé d'un mouvement hélicoïdal autour d'un axe A lorsqu'il tourne autour de A et glisse le long de A de manière qu'un de ses points décrive une hélice circulaire d'axe A,
Supposons qu'un solide puisse tourner autour d'un axe A et glisser le long de cet axe. Si un point A„ du solide vient occuper la position A. c'est que le solide a tourné autour de A d'un angle 0 égal à celui des plans AAq et AA et qu'il a glissé le long de l'axe d'une longueur mesurée par la différence : entre la cote de A et celle de A„. Nous supposons que l'on ail l'ait coïncider 0: avec l'axe A. Tous les points du corps ont tourné du même angle 0 et glissé d'une même longueur mesurée par :.
Si le point A, partant de la position initiale A^, décrit une hélice
circulaire d'axe A. le rapport " est constant,
h désignant le pas de l'hélice. Tous les points du corps ont des coordonnées cylindriques liées par la même relation.
Donc : dans un mouvement hélicoïdal autour de l'axe A, les trajectoires de tous les points sont des hélices circulaires de même pas, tracées sur des cylindres de révolution d'axe A.
Le calcul des vitesses et des accélérations est celui qui a été fait pour le mouvement hélicoïdal d'un point. Si
on a
dfi
Tt = "
et
Vr = 0,
v^ = roi,
Yr = — oj-r,
Lorsque oj est constant, w' est nul : le solide est animé d'un mouvement hélicoïdal uniforme.
Pour réaliser le mouvement hélicoïdal d'un solide, on se sert d'une vis et d'un écrou. La vis est un cylindre de révolution portant en relief un filet de vis; les arêtes de ce filet sont des hélices. L'écrou est un solide percé d'une cavité cylindrique de même diamètre que la vis; la surface interne de celte' cavité est creusée d'un sillon idenlique au filet. Si l'on place la vis dans l'écrou. un point de larête du filet est contraint de décrire une hélice circulaire quand on fait mouvoir soit la vis, soit l'écrou, soit lun et l'autre. Le mouvement relatif de chaque solide par rapport à l'autre est un mouvement hélicoïdal.
MOUVEMENT D UN CORPS SOLIDE
26. Remarque sur les mouvements élémentaires d'un solide. — Les mouvemeiils simples des solides étudiés aux paragruphos précédents ont une importance pratique et théorique. Leur importance pratique vient de ce qu'ils sont fréquemment utilisés dans les objets usuels. Leur importance théorique résulte du fait que ce sont réellement des mouvements élémentaires, en ce sens que tout mouvement d'un solide, au point de vue de la distribution des vitesses de ses points, peut, pendant un petit moment autour de l'instant /, être confondu avec l'un d'eux.
Quand un solide a un point fixe, son mouvement peut, à chaque instant, être considéré comme une petite rotation autour d'un axe passant par ce point et variable avec l'instant.
Quand un solide a une surface plane qui reste en contact avec une autre surface plane, le mouvement peut, à chaque instant, être considéré comme une petite rotation autour d'un axe perpendiculaire aux plans en contact ou, exceptionnellement, comme une petite translation.
Le mouvement le plus général d'un solide peut être considéré, à chaque instant, comme un petit mouvement hélicoïdal autour d'un axe qui varie avec l'ioslant. Exceptionnellement, ce petit mouvement peut se réduire à une rotation ou à une translation.
27. Thêouèmi;. — Quand un solide est en mouvement, les projections des vitesses de deux de ses points sur la droite i/ut les joint sont deux vecteurs éijaux.
Ce théorème général sur le mouvemeiU d'un solide a de fréquentes applications.
Pour le démontrer, joignons un point fixe 0 aux deux points A et B du solide
et menons le vecteur OF égal à AB. La longueur OP est constante, donc le point P décrit une courbe tracée sur la f sphère de centre 0 et de rayon OP et ' -^ sa vitesse est un vecteur perpendiculaire à OP. Or, le vecteur OP étant la dilTérence géométrique des vecteurs OB
et 0.\, la vitesse de P est la dilTérence
géométri([ue des vitesses V et V des points B et A.
Formons cette dilTérence en menant
par A le vecteur \[ égal à V; la dilTérence V — V s'obtient en joignant les extrémités des vecteurs V et V[. Cette droite doit être perpendiculaire à OP, donc à AB; par suite, les vecteurs Vi et V ont la même projection Ali sur AB, c'est-à-dire que les vecteurs V et V ont des projections AH et BK qui sont des vecteurs égaux.
CINEMATIQUE
28. Application au mouvement d'un plan sur un plan. — Comme applicatidn, nous denumtreious la proposition ('nonci''e au parafiinplie 20, relalive au inouvemcnl do deux solides eu contact par une surface plane. Supposons (jue le solide (S) possède une face plane prlissant sur un plan (P). Peux points du solide plac<is sur une perpendiculaire à (P) ont des lraj<'ctoires égales et, à chaque instant, des vitesses égales. 11 sufllt donc d'étudier le mouvement des points du solide (S) situés dans la face plane (P') de ce solide qui se déplace sur (P). On dit qu'on étudie le mouvement d un plan sur un plan.
Supposons qu'il existe deux points A et B de (P'I dont les vitesses à l'instant / ne soient pas parallèles. Les perpendiculaires en \ et B à ces vitesses se coupent en I.
Je dis que le point I de (P) a une vitesse nulle à l'instant t; en ellet, la projection sur l.\ de la vitesse de I est nulle, puisqu'elle est égale à la
projection de V. De même la vitesse de 1 a une projection nulle sur IB; donc I a une vitesse nulle.
Ce point 1 porte le nom de centre instantané de rotation à l'instant t.
Portons sur l'axe A, perpendiculaire — ■> en 1 au plan (P), un vecteur w, de
crandeur w =
Al
dans un sens tel
que V soit le moment de w par rapport à A.
Je dis que les vitesses de tous les points de (P') sont les mêmes que si le corps (S), à
— h Vinstant t, tournait autour de A d'un mouvement de rotation représenté par le vecteur w.
Soit, en effet, M un point quelconque de (P'), la vitesse V" de ce point est perpendiculaire il IM puisque sa projection sur IM est nulle comme celle de la vitesse de I.
La projection de V" sur AM est un vecteur MK égal au vecteur AH, projection de V.
Or, le moment de w par rapport à M est aussi un vecteur perpendiculaire à IM
dont la projection sur AM est égale à Ali, d'après un théorème sur la projection d'un
moment sur un axe démontré au paragraphe G. Donc, la vitesse V" est bien le
moment de w par rapport à M, comme si le corps tournait autour de A avec la vitesse angulaire w.
La droite IM, perpendiculaire à la vitesse de M, est normale à la trajectoire de ce point. Donc, à chaque instant, les normales aux trajectoires de tous les points de (P') passent par le centre instantané.
Supposons maintenant que tous les points de (P') aient, à l'instant t, des vitesses parallèles. Toutes ces vitesses sont des vecteurs égaux : soient, en effet, A et B, deux points quelconques d(; (P'); les vitesses en .\ et B sont deux vecteurs parallèles, comme leurs projections sur AB sont deux vecteurs égaux, ces deux vitesses sont égales ou perpendiculaires à AB. Dans ce dernier cas, les vitesses en A et B sont égales à la vitesse d'un point G non situé sur AB, car elles ne sont perpendiculaires ni à .VC, ni à BG. Elles sont donc encore égales entre elles. Tous les points de (P')
ont une vitesse égale à la vitesse V du point A. Au point de vue de la distribution des vitesses, tout se passe comme si le corps était animé d'un mouvement de transla-
— >tion uniforme, de vitesse V, pendant un petit instant autour de l'époque t. Le
nombre V peut d'ailleurs être nul.
MOUVEMENT D LX CORPS SOLIDE 331
Remarque. — Le point I di-llni pn-ci-deiiimciil est uni*iue à moins que tous le» points de (P) n'aient a l'instant l une vitesse nulli*, comme il résulte du rnisonnenient (jue nous venons de faire.
28 '"*. Application au mouvement d'un solide autour d'un point. — Considérons un solide (S) en mouveniont, dont un point, U, est maintenu lixe. Soient A et U, deux points du corps; leurs vitesses au temps l sont respectivement i)erpendiculaires à OA et à OB; les plans perpendiculaires en A et B à ces vecteurs vitesses contiennent donc, respectivement, OA et OB, et passent par 0. Ils se coupent suivant une droite A, issue de 0, que nous appellerons axe instantané de rotation à l'instant t. Tous les points I de cet axe ont une vitesse nulle à l'époque t, puisque les projections de celte vitesse sur les directions 10, lA, IB sont nulles d'après le théorème précédent.
Portons sur l'axe A un vecteur w, de grandeur o) = -{-r> V étant la grandeur de
la vitesse de A, et I,, le pied de la perpendiculaire abaissée de A sur A. Le sens du
vecteur ot est tel que V soit le moment de w par rapport à A. Je dis que les vitesses de tous les points du corps (S), à l'instant t, sont les mêmes que si ce corps tournait
autour de A d'un mouvement de rotation uniforme représenté par le vecteur w.
Soit, en effet, .M, un i)uint quelconque de (S), la vitesse V" de ce point est perpendiculaire il IM, 1 étant au point quelconque de A, puisque sa projection sur IM est
nulle comme celle de la vitesse de I. Donc V" est perpendiculaire au plan
déterminé par .M et A. La projection de V" sur AM est un vecteur Mlv égal au
vecteur .VU, projection de V. Or, le moment de ot par rapport à M est aussi un
— >■ vecteur perpendiculaire au plan MA, dont la projection sur AM est égale à AH
d'après le théorème du paragraphe 6. Donc, la vitesse V" est bien le-moment de w
par rapport à M, comme si le corps tournait autour de A avec la vitesse angulaire w. Le plan .MA, perpendiculaire à la vitesse de M, est normal à la trajectoire de ce point. Donc, « chaque instant, les plans normaux aux trajectoires de tous les points de (S) passent par l'axe instantané.
CIIAPITUE V
