MM' PP
Plaçons-nous sur le système (SJ, les vecteurs — ^, -— , sont, par
définition, les vitesses absolue et d'entraînement moyennes; lorsque M tend vers zéro, ces vecteurs ont pour limites la vitesse absolue ¥„
et la vitesse d entraînement Ve à 1 instant /; donc, le vecteur - a une
limite égale à V„ — ¥«.
Plaçons-nous maintenant sur le système (S); par définition, le
CINEMATIQUE
P'iM'
vecteur -ry , d origine P ou P' (car les points P et P' sont confondus pour un observateur entraîné avec (S)), est la vitesse relative moyenne; lorsque A^ tend vers zéro, ce vecteur a pour limite la vitesse relative Vr.
En écrivant l'égalité des deux valeurs trouvées pour la limite de
il vient
ou
Prenons, par exemple, le mouvement des gouttes de pluie par rapport à un voyageur situé dans un compartiment de chemin de fer. Le mouvement absolu sera le mouvement d'une goutte par rapport au sol, nous supposerons que la goutte tombe verticalement; le mouvement relatif est celui de la goutte par rapport au compartiment; pour une goutte touchant la vitre, sa vitesse relative aura à peu près la direction de la trace laissée sur la vitre. La vitesse d'entrainement est celle du train. La vitesse relative est l'hypoténuse d'un triangle rectangle dont le côté horizontal représente la vitesse du train et le côté vertical, la vitesse de la goutte par rapport au sol.
Application. — Considérons un- mouvement plan : le mouvement du
point M par rapport au système de comparaison formé par le plan pourra se déduire du m^ouvement relatif de M sur une' tige coïncidant avec le rayon vecteur OM et du mouvement d'entraînement de cette tige qui est une rotation autour de 0.
La vitesse relative est mesurée sur le rayon vecteur 0 par
Vr=^^. Le point P de la tige qui coïncide avec M à l'instant / décrit
une circonférence de rayon 7' et de centre 0, sa vitesse est mesurée sur
l'axe O-h^ par v^^^r-r-. Nous- retrouvons les composantes
dv do
rf7' ''^ = 'dî-
dr
31. Cas de plusieurs changements consécutifs de système de comparaison. — Supposons que, après avoir adopté un système de comparaison (Sj), nous prenions un nouveau système de comparaison (S^). Le
CHAiNGEMENT DU SYSTÈME DE COMPARAISON
point M aura, par rapport à (S,, un mouvement relatif de vitesse \V;
par rapport à (S,) un mouvement relatif de vitesse V^, ; par rapport à
(Sj), un mouvement absolu de vitesse V„. Soit de même Ve, la vitesse
d'entraînement de M par rapport à (S,) et V^, la vitesse d'entraînement par rapport à (S,) quand on considère les deux seuls systèmes (S,) et (Sj). D'après le théorème précédent, on peut écrire :
donc,
On peut, de même, passer à un nouveau système (Sj), etc.
Application. — Considérons le mouvement d'un mobile défini par ses coordonnées polaires /■, 0, o. Le mouvement par rapport aux axes Oryz sera le mouvement absolu. Nous considérons le mouvement relatif de M par rapport à la tige OM ; le mouvement d'enlrainement de cette lige par rapport au plan zOu; le mouvement d'entraînement de ce plan par rapport au trièdre de
coordonnées. La vitesse relative est mesurée sur OM par -tt. La première trajectoire d'entraînement est une circonférence de centre 0 et de rayon r : la vitesse est mesurée par r-y- sur Taxe 6 H-^ du plan -0« .
La seconde trajectoire d'entraînement est un cercle perpendiculaire à 0: de centre II et de rayon HM = ?- sinO : la vitesse est mesurée par
rsinO-T^ sur le rayon polaire horizontal =' + 5. Nous retrouvons les
composantes :
rfr
de ^^ = ''37'
u, r=:r sin6-77 at
32. Composition des accélérations. — Lorsqu'on change de système de comparaison, la relation entre les accélérations n'a pas, en général.
336 CINKMATIQUE
la niêmc forme que la relation entre les vitesses. On n'a pas, en général,
Il suftil de le véritior sur un exemple.
Reprenons le mouvement plan d'un point de coordonnées polaires r, 6. L'accélération relative, dans le mouvement relatif par rapport à OM est
mesurée sur OM par -r-j. Dans le mouvement circulaire d'entraînement, l'accélération d'entraînement a une composante portée par OM mesurée par — ''(7/) ^t une composante normale à, OM mesurée
sur Taxe 0-+-;^' par r-rr^. Si l'accélération absolue était la somme des
deux accélérations précédentes, elle aurait pour composantes
r-T-s- sur 1 axe 0 H-cf dt- 2
Or, nous avons vu, au paragraphe 19, que la composante y, suivant l'axe 0 est bien celle que nous venons de trouver, mais que la composante Y^ suivant l'axe 64-^ est :
(P^ ç^drdO '^'~''' di:'~^ "dtdt'
Pour avoir l'accélération absolue, il faut ajouter aux vecteurs Jr et
J, un troisième vecteur J^ mesuré par ^-yj-n sur l'axe O-f-^. On a donc :
J(i ^= J,. — h Je -j- Je'.
Ce "résultat est général : l'accélération absolue est la somme géométrique de l'accélération relative, de l'accélération d'entraînement et d'un troisième vecteur qu'on appelle accélération complémentaire ou accélération de Coriolis.
11 peut arriver que le vecteur complémentaire soit nul; dans ce cas, les accélérations se composent comme les vitesses. 11 en est ainsi lorsque le mouvement d'entraînement de (S) par rapport à (SJ est un mouvement de translation.
