CIIANGKMENT DU SYSTÈME DE COMPARAISON
33. Cas OÙ le mouvement d'entraînement est un mouvement de translation. — Dans ce cas, en rllel, on peut écrire les égailles
Soit 0,.r,j/,:,, un système de trois axes attachés au système (S,) et Oxyz, un système de trois axes, parallèles aux premiers, attachés au système (S); le trièdre Oxi/z a un mouvement de translation par rapport au systèm(> (S,) et sa position est définie quand on connaît les coordonnées a, b, c du point 0 dans le système d'axes 0,a",î/,:j. Les nombres a, b, c sont des fonctions du temps dont les dérivées premières sont les composantes de la vitesse d'un point quelconque attaché au système (S) et les dérivées secondes, les composantes de l'accélération de ce point. Nous savons, en effet, que, dans un mouvement de translation, tous les points du corps ont des vitesses égales et des accélérations égales.
Soit M un point mobile, de coordonnées .r, y, z par rapport à Oxyz et
— ■>de coordonnées x^, y,, :, par rapport à 0^x^y^z^. Le vecteur OjM est la
somme des vecteurs 0,0 et OM, donc,
d'où, en dérivant,
Ces égalités expriment les égalités géométriques écrites plus haut.
33'"-. Composition des accélérations dans le cas général. — Considérons un point 0 du système (Si) et menons par ce point des vecteurs égaux à V„, V,., V'e dont nous désignerons les extrémités par A, R, E. Puisque le vecteur V,, est la somme géométrique des deux autres, la vitesse absolue V^ de ce point est la somme des
autres vitesses absolues VjJ et V^' :
yA yK , yK
Ces trois vecteurs demeurent les mêmes si le système (S,i est remplacé par un système (S[) animé, par rapport à (Si), d'un mouvement de translation. Nous pourrons donc supposer qu'un point 0 de (S,) coïncide avec le point 0 du système mobile (S), en sorte que le mouvement d'entraînement de (S) par rapport à (S,) se réduira à
CINEMATIQUE
chaque instant, au point de vue des vitesses, à une rotation iastaotanée, autour d'un
axe passant par 0, qui sera représentée par un vecteur ii. T^ — >-
Le vecteur V|^ n'est autre que l'accélération absolue J^ du point mobile, puisque
le point A décrit, dans (S[), l'hodographe du mouvement absolu. Passons au point R. On a
la vitesse relative de U, Vj! est l'accélération relative J^ du point mobile, puis(iue le point R décrit, dans (S), l'hodograpiie du mouvement relatif. Quant à la vitesse
dentrainement du point R, c'est le moment W du vecteur LS par rapport au point R
e.xtrémité du vecteur V^, c'est-à-dire le produit iî x W r- Donc,
Occupons-nous maintenant de la vitesse du point E. A l'instant <4--^^ '^ vecteur V^, vitesse d'entraînement de M au temps t, est remplacé par le vecteur Vj
vitesse d'entraînement de M', au temps t-f Ai. Introduisons le vecteur V", vitesse du point P' de la figure précédente, à l'instant i-|- Ai. On a l'égalité évidente
Ai
Ai
■*■ Ai ■
Lorsque Ai tend vers zéro, le premier membre a pour limite la vitesse V f; du point E. La première fraction du second membre a pour limite l'accélération
d'entraînement J^,, puisque V, et V'^ sont deux vitesses voisines sur la trajectoire
d'entraînement; V^, vitesse du point M', est le moment, par rapport à .M', du
vecteur û' représentant la rotation instantanée au temps t-{-Al, c'est-à-dire le
produit Q'xOM'; de même Vj représente le produit Q' x OP' et la ditîérence
Vg — Vg est égale au produit Q' X PM'. La dernière fraction est donc égale au produit
Ai
La limite de ce produit est égale au produit des limites. Plaçons-nous sur (S); ià'
ni Ai
a pour limite Ll et —rj a pour limite V^, donc le produit a pour limite il X Vr = ^^
On a donc
et
d'où
V^ = Je+W,
vS = j, + w,
v:: = j„ = v^-fv^
Ja=Jr+Je + 2\V ou J„=J, + J,-}-Jc.
Je = 2W est Vaccélération complémentaire ou accéléralion de Coriolis.
CHANGEMENT Dl' SYSTEME DK COMPARAISON 33 9
34. Exemples de compositions de mouvement. — Dans les exemples qui suiveul, le uii)uv(!mouL d'eiUraînement sera une translation rectiligne.
1" Le mouvement relatif et le mouvement d'entraînement sont rectilignes et uniformes.
Les vecteurs V,. et V^ ont des grandeurs, des directions et des sens
invariahles. Il on est de même de leur somme géométrique V^. Le mouvement abs(jlu a une vitesse représentée par un vecteur toujours égal à un vecteur fixe : ce mouvement est donc rectiligne et uniforme.
Soit, par exemple, M, un point d'un bateau qui traverse une rivière; le mouvement relatif de M par rapport à la rivière sera suppo.sé rectiligne et uniforme, la vitesse étant celle du bateau. La vitesse d'entraînement est celle du courant et l'on supposera le mouvement d'entraînement rectiligne et uniforme. Le mouvement de M par rapport aux rives sera aussi rectiligne et unil'orme.
2° Le mouvement relatif et le mouvement d'entraînement sont rectilignes et de directions difTérentes.
Soit a; = /■(/), l'équation du mouvement de M sur la droite Ox;
ij=zg[t), l'équation du mouvement d'un point 0 de celle droite qui décrit l'axe Oij. Le mouvement absolu est plan; la trajectoire est dans le plan défini par Oij et par la position initiale Ox de la trajectoire relative de M. Les équations du mouvement absolu sont
Par exemple, si le mouvement relatif est uniforme, on peut prendre x = at, 0 étant la position de M au temps zéro; si le mouvement d'entraînement est uniformément accéléré, on peut prendre y = ht-{-ct-, Ox étaat la position de la trajectoire de M à l'instant 0. La trajectoire absolue est la courbe
x^at, tj = bl -\- cl-; et, en tirant t de la première équation et le portant dans la seconde, on obtient
CINKMATIQl'E
équation d'une parabole. La construclion de la vitesse absolue montre que la projection de celte vitesse sur Ox est la constante a. La conslruolion de raccélération absolue montre qu'elle est parallèle à 0;/ et égale à la constante 2c. Ces résultats se déduisent aussi de lélude des mouvements projetés.
3° Le mouvement relatif et le mouvement d'entraînement du point M s'efîectuent sur la même drciite.
Soit x^:=f^{t), l'équation du mouvement relatif de M el x., = f^{t),
oc.
l'équation du mouvement d'un point fixe Oj de la droite 0,j:, que décrit M. Si x est l'abscisse de M par rapport à un point fixe 0 de Ox, on a
Supposons, par exemple, que les mouvements de M et de 0, soient des vibrations simples de même période : on a
a:, ^«7 sin((.)/-h a), a-, = 6sin(o)/
d'où
x^a sin(wf-f- a) + ^ sin((o^ -t- fi).
Je dis que le mouvement absolu est une vibration de même période.
Soient OA et OB deux vecteurs de grandeurs a et b faisant respectivement avec Oj/ les angles co/-(- a et wf H-p.
Si ces vecteurs tournent d'un mouvement uniforme de vitesse angulaire o. les projections de leurs extrémités sur l'axe Ox perpendiculaire kOy ont pour abscisses a?j et a^j. Le parallélogramme OABC construit sur les deux vecteurs demeure invariable et tourne autour de 0 avec la vitesse w. La projection de
l'extrémité C du vecteur OC, diagonale du parallélogramme a pour
abscisse x et ce point x est animé d'un mouvement oscillatoire de
Sir -'''\
période —, d'amplitude OC et dont la phase initiale est égale à a -l-AOC.
Plus généralement, on peut considérer un nombre quelconque de mouvements vibratoires simples de même période. Le mouvement
