CHANGEMENT DU SYSTEME DE COMPARAISON

altsolu résultant est un mouvement vibratoire de môme période dont l'amplitude est la somme géométrique des vecteurs correspondant aux différentes vibrations.

Cette somme géométrique peut être nulle : le point M est alors immobile sur l'axe Ox. Cela se présentera, par exemple, pour trois mouvements vibratoires de même période, de même amplitude, dont

les phases initiales sont 0, -^, -^.

A° Le mouvement relatif est circulaire et uniforme.

Supposons que le mouvement relatif soit circulaire et uniforme de vitesse angulaire oj et le mouvement d'entraînement rectiligne et uniforme. C'est le cas d'un point d'une roue de voiture se déplaçant en ligne droite.

Nous allons examiner en particulier le mouvement- d'un point M de la circonférence de la roue. La trajectoire {^) de ce point porte le nom de ci/cloïde.

Soit Ox, la ligne droite sur laquelle se déplace la roue, C la position du centre à l'instant t. Nous supposerons que le cercle C roule sans

glisser sur le sol Ox c'est-à-dire que l'arc décrit par un point de la circonférence est toujours égal à la longueur rectiligne décrite par le point I dans le même intervalle de temps, I étant le point de contact de kl roue et du sol. 11 en résulte que la vitesse de I sur le sol Ox a la même grandeur que la vitesse d'un point de la circonférence. La

première vitesse est la vitesse d'entraînement V^ de la roue, la seconde

la vitesse relative V^ du point M. Si nous construisons, au point M, le parallélogramme des vitesses, nous obtenons un losange et le triangle isocèle MV.Va est semblable au triangle MCI. Le rapport de similitude

342 r.lNKMATIQl'E

est 0), vitesse angulaire de la rotation puisque Yr^wMC; donc V„=(oMr,

d'autre part le triangle MV,V„ a ses côtés perpendiculaires à ceux du

—y triangle MCI. donc MI est la normale à la cycloïde; V„ est placé sur

la tangente MT qui passe donc par le point T du c<'rcle diamétralement

opposé au point I.

Ainsi, la vitesse du point M à l'instant t est la même que s'il tournait autour de I avec la vitesse angulaire m.

Composons les accélérations; l'accélération d'entraînement est nulle et Taccélération relative est égale à Taccéléralion absolue. C'est un

vecteur MJ dirigé suivant MC et égal à w-MC; soit Mv„ l'accélération normale et II le milieu de MI; on a My„ = w-MH, puisque Cil est perpendiculaire à MI et comme

My„ = Y' f étant le rayon de courbure de la cycloïde,

t'~My„~ w^'MH"'"

Donc, le centre de courbure Q de la cycloïde est le symétrique de M par rapport à I.

Remarque I. — On peut retrouver directement ces résultats en écrivant les équations du mouvement du point M. Soit 0 une position du p<Mnt M lorsque ce point est au contact du sol; prenons 0 comme origine des coordonnées. Oy perpendiculaire à Ox du côté du cercle, et comptons le temps à partir du moment où M est en 0. La courbe (H) se compose d'arches telles que OMO' toutes égales entre elles. Désignons par a le rayon du cercle et prenons la vitesse angulaire m comme unité. A l'instant t, la roue a tourné de l'angle CMI:=a)/ = (. Projetons orthogonalement sur Ox et sur 0»/ le contour OICM et sa résultante OM; nous aurons :

X = ÔI + Proj . Te + Proj . CM

xz=zat -ha cos( -^ I,

y =TCh- Proj. CM = a 4- a cos (t: — t); d'où

x=za{t — sin/), y = a{t — cost).

Jîemarque II. — Les points 0, 0', sont des points de rebroussemeni

CHANGEMENT Dl' SYSTÈME DE DOMPAHAISON

de la cycloïde. Un point M' intérieur au cercle décrit une courbe appelée cycloïde raccourcie; un point M" extérieur au cercle décrit une courbe à points doubles appelée cycloïde allongée. Les roues des ^vagons d'un train ont une partie qui déborde le rail. Les points de ce rebord décrivent des cycloïdes allongées.

35. Mouvement d'un disque sur un plan. — Hoprenons l'étude du mouvement d'un disque plan qui se déplace sur un plan tixe. Nous avons vu que, à chaque instant t, la vitesse de chaque point du disque mohiie est la même (jue si le plan tournait autour d'un point I, centre instantané de rotation. La position du point I varie avec le temps; il décrit une courlie (C) sur le disque et une courbe (C„) sur le plan fixe. Si à chaque instant, on perce le dis(iue et le pian à l'aide d'une épingle l)lacée en !. (C) est le lieu des traces de l'épingle sur le disque et (Cq) le lieu des tr aces de l'épingle sur le plan. La trajectoire relative de I est la courbe (C); sa trajectoire absolue est la courbe (Cq).

Comme le point 1 a une vitesse d'entraî-

— y nement nulle, la vitesse absolue V„

coïncide avec la vitesse relative V,.. Ces

deux vecteurs ayant même direction et

même sens, les tangentes en I à (C) et à

(Cq) coïncident : la courbe (C) reste

tangente à la courbe (Cq). Soient A et Aq

les positions de 1 sur C) et sur (Cq) à l'origine des temps. Prenons, sur chaque

courbe, un sens positif des arcs tel que les tangentes positives en 1 coïncident; les

valeurs algébriques des vitesses étant les mêmes, on aura, si s = arc AI et So= arcAoI,

ds dt

d'où

dsn dt '

Pourso = 0, .s- = 0, doncia constante est nulle et l'on a toujours

Les arcs décrits parle point I sur (C) et (C,,) pendant le même intervalle de temps sont toujours égaux. On dit que la courbe (C) roule sans glisser sur la courbe (Cq). Si l'on découpe le disque mobile de façon que son contour soit la courbe (C), et le plan lixe, de manière que son contour soit (Cq), on réalisera matériellement le mouvement en faisant rouler le bord du disque mobile sur le bord du plan lixe. La courbe (Cq) est appelée la base et la courbe (C) la roulette. Dans le paragraphe précédent nous avons examiné le cas où (C) est un cercle et (Cq) une droite.

Soit (L) une courbe tracée sur le disque mobile; les différentes positions de (L) forment, sur le plan fixe, une famille de courbes égales qui ont une enveloppe (Lq), c'est-à-dire une courbe à laquelle elles restent tangentes. Je dis que la normale commune à (L) et à (L,,), au point où elles se touchent à l'instant t, passe par le point I. Soit, en effet, P le point de contact de (L) et (L,); ce point a pour trajectoire

relative la courbe (L) et pour trajectoire absolue la courbe (Lq), les vitesses V^ et

344 • EXERCICES Sru LE LIVRE I

Va sont donc portées par la tangente commune en P à ces courbes. La vitesse

—y d'entraînement \%. qui est leur différence, est aussi portée par la même droite; or, cette vilesse est perpendiculaire à IP, donc IP est la normale commune.

Les courbes (L) et (Lq) s'appellent des projils conjugués du mouvement. Dans les engrrenages cylindriques, les sections droites des pièces qui engrènent sont formées de morceaux de prolils conjugués (jui roulent l'un :sur l'autre, en glissant, puisque la vitesse d'eutrainemcnt du point de contact P n'est pas nulle.