EXERCICE.^ SLR LE LIVRE I

1. — Une automobile décrit une courbe circulaire de "200 m. de rayon avec une vilesse de lo km. à l'heure. Devant un obstacle, la voiture s'arrête après avoir parcouru 75 m. d'un mouvement uniformément retardé. Trouver l'accélération d'un point de la voiture avant et pendant la période de ralentissement.

2. — Une bicyclette se déplace sur une route rectiligne avec une vitesse de 20 km. à l'heure. La roue motrice a un rayon de 35 cm. et le développement de la machine est de 5 m. Calculer la vitesse angulaire et l'accélération angulaire de la roue motrice pendant la période de ralentissement en supposant que la machine s'arrête après avoir parcouru 30 m. d'un mouvement uniformément retardé.

Calculer, dans les mêmes conditions, la vitesse et l'accélération par rapport au sol d'un point de la jante de la roue arrière.

3. — La trajectoire d'un point est une circonférence (C); l'hodographe relative à un point 0 de cette circonférence est une circonférence (C) tangente en 0 à (C) et de rayon moitié de celui de (C). Trouver le mouvement.

4. — La trajectoire d'un point est une parabole (P); Thodographe relative au sommet 0 de cette parabole est une parabole égale à (P) ayant son foyer en 0 et son sommet, symétrique par rapport à 0, du foyer de la parabole (P). Trouver le mouvement.

b. — Un point décrit une trajectoire plane. Le vecteur accélération se déduit, à chaque instant, du vecteur vilesse par une rotation

de H- ^ autour de la position du point. Trouver le mouvement.

Examiner le cas plus général où la rolation correspond à un angle quelconque a. Quelle est l'hodographe?

G. — Trouver un mouvement plan tel que l'hodographe en un point 0 de ce plan s'obtienne en faisant tourner la trajectoire d'un angle a autour du point 0.

7. — Un point décrit une trajectoire gauche quelconque. Montrer

EXKUCICES SIH LK LIVIIK I 34î>

qu'on peut choisir la loi du mouveuienl de ni.inière que i'Iiodographe soit une courbe plane. Kxaminer, en particulier, le cas où la trajectoire est une hélice circulaire. Quelle est alors I'Iiodographe?

8. — La trajectoire d'un point, est une cirronféren<.-e. I)t'terminer la loi du mouvement du point sur sa trajectoire de manière que lacctiléralion fasse un angle constant avec la vitesse. Trouver I'Iiodographe.

9. — Une hélice circulaire est considérée comme la trajectoire absolue d'un point qui décrit une circonférence d'un mouvement uniforme tandis que le plan de cette circonférence est animé d'un mouvement de translation roctilignc uniforme, le centre de la circonférence décrivant l'axe du cylindre de révolution sur lequel est tracée l'hélice. Montrer que la projection de l'hélice, faite parallèlement à une direction fixe A, sur un plan perpendiculaire à l'axe du cylindre, est une cycloïde allongée ou raccourcie. Dans (juel cas cette projection est-elle une cycloïde ordinaire?

10. — Un homme, représenté par un point M, décrit l'axe Oy d'un mouvement uniforme dont la vitesse est mesurée par v; son chien, représenté par un point C, court après lui avec une vitesse dont la direction passe, à chaque instant, par le point M et dont la grandeur est 2(;. A l'origine du mouvement, le point G est en .\ sur Ox et son abscisse est a; le point M est à l'origine des coordonnées. Trouver la trajectoire {courbe du chien). A quel moment le chien rattraj)e-t-il son maître?

11. — Le point M se déplaçant dans les mêmes conditions qu'à l'exercice précédent, le point 0, parti de A, décrit un arc de parabole tangent à Ox en A et à Oj/ au point B d'ordonnée b. Le chien rattrape son maître en B. Trouver le mouvement de C.

12. — Un segment invariable AB se déplace dans le plan xOij de manière que le point A décrive l'axe Ox d'un mouvement uniforme et (|ue la vitesse du point B ait, à chaque instant, la même grandeur que celle de A. Trouver la trajectoire de B [courbe des forçats enclininés). Si Ton suppose qu'un plan est invariablement lié au segment AB, ce plan se déplace sur le plan fixe xOy. Trouver le centre instantané de rotation, la base et la roulette.

13. — Étant donnés deux axes rectangulaires Ox, Oij, on porte, sur l'axe Ox, les segments OA et AB mesurés par

â = /, AB = /(/, />0,

n désignant une constante, et on considère les certles (C) et (T) de centres B et 0, passant par A. Le cercle (C) roule sur la circonférence

346 EXERCICES srn LF. LIVRE I

{T) de manière que la vitesse angulaire autour de son centre 0' soit égale à t. Au temps /=:0, le point 0' coïncide avec B. Soit M la position. i\ l'instant /, du point de la circonférence de (C) qui, à l'instant 0, coïncide avec A.

1° Calculer les coordonnées de M à l'instant /.

2° Construire le centre de courbure relatif à M de la trajectoire de M et montrer qu'il divise le segment Ml dans un rapport constant, 1 étant le point de contact des cercles à l'instant /.

3° Construire les vecteurs vitesse et accélération et montrer que le vecteur accélération est situé sur la droite symétrique de MO par rapport à MI.

-4° Trouver les équations de la tangente et de la normale à la trajectoire. En déduire que la développée de la trajectoire se déduit de la trajectoire par une homothétie de centre 0 et une rotation autour de 0.

14. — Un plan mobile (P) se déplace sur un plan fixe (l'oi de manière que deux points A et B du plan (P) soient situés sur deux droites fixes Oxq, Oj/j, de (PJ. Montrer que le mouvement peut être réalisé par le roulement d'un cercle (C) à l'intérieur d'un cercle fixe (C^) de rayon double. Tous les points du cercle (C) décrivent des segments de droites passant par (). Tous les autres points du plan (P) décrivent des ellipses de centre 0.

15. — Un plan mobile (P) se déplace sur un plan fixe (P„) de manière que deux rainures rectilignes Ox-^ Oy du plan (P) glissent sur deux pivots fixes du plan (Po). Montrer que le mouvement peut être réalisé par le roulement d'un cercle (C) sur un cercle fixe (C^) de rayon moitié et situé à l'intérieur de (C). Montrer que toute droite de (P) issue de 0, passe par un point fixe de (P„); que toute autre droite enveloppe un cercle, que les trajectoires des points de (P) sont des limaçons de Pascal.

rflAPITHE ï LOIS GÉNÉRALES

36. Axes fixes. — Les lois expérimentales que nous allons énoncer et sur lesquelles repose la mécanique sont valables pour un système de comparaison que Ion appelle absolument fixe. Ce système est déterminé par un trièdre ayant pour origine le centre de gravité du système solaire et dont les arêtes passent par trois des étoiles appelées étoiles fixes. Xous l'appellerons brièvement le sy terne fixe.

37. Divisions de la dynamique. — L'objet de la dynamique est l'étude des rapptjrls du mouvement avec un élément appeb' force que nous allons bientôt définir.

Comme pour la cinématique, nous étudierons d'abord le cas d'une portion de matière assez petite pour être, sans erreur appréciable, assimilée à un point géométrique. Nous aurons ainsi la Dynamique du point. Nous passerons ensuite au cas d'un système matériel quelconque considéré comme un ensemble de points matériels. L'étude de ce cas constitue la Dynamique des systèmes qui comprend la Dynamique des systèmes invariables ou Dynamique du corjps solide et la Dynamique des systèmes déformables.

38. Principe de l'inertie. — La définition de la force repose sur le principe suivant connu sous le nom de principe de l'inertie : un point matériel abandonné à lui-même a une accélération nulle par rapport au système fixe.

348 DYNAMIQl E UL POINT

Nous savons que, lorsque raccéléralion est nulle, ou il y a un mouvenîent et celui-ci est recliligne et uniforme, ou le point est au repos. Donc, un point matériel abandonné à lui-même reste au repos par rapport au système fixe ou bien est animé, par rapport à ce système, d'un ïnouvement rectiligne et uniforme.

39. Force. — Masse. — Si l'accélération dun point n'est pas nulle, ce point n'est pas abandonné à lui-même. Il est soumis à une action extérieure de la part d'autres points matéri('ls. Celte action est appelée force. Le but de la mécanique est de comparer entre elles les dilVérentes forces et d'en rechercher les etfets. Pour atteindre ce but, on établit une correspondance entre une force et l'effet qu'elle produit sur un point matériel.

A chaque instant, un point matériel M possède une accélération

représentée par un vecteur J d'origine M. On admet que ce vecteur caractérise l'effet de la force, qui agit sur le point. Nous représenterons

la force par un vecteur F de même origine et proportionnel au premier. Nous aurons donc :

Lorsqu'on fait agir une même force sur différents points matériels, on peut constater que les accélérations sont, quelle que soit cette force, dans un rapport constant différent de lunité. Il en résulte que Ton ne peut pas prendre pouj|^?u une valeur indépendante du point matériel, la valeur un par exemple, mais que les rapports des valeurs de ni correspondant à deux points matériels sont déterminés. Si l'on choisit la valeur de m pour un point matériel, les valeurs relatives aux autres points matériels sont déterminées. Le coefficient m a ainsi une valeur caractéristique de chaque point matériel : on l'appelle la masse de ce point.

40. Composition des forces. — Principe. — Lorsqu'un point matériel est soumis en même temps à l'action de plusieurs forces, il prend une accélération déterminée par le principe suivant qui est établi par l'expérience et par la vérification des conséquences qu'on en lire.

Uaccélùralion d'un poiul matériel soumis à plusieurs forces est la

somme géométrique des accélérations quil prendrait sous l'action de

chaque force agissant seule.

Si un point M. de masse vi, est .>oumis aux forces F„ Fj, Fj, 1 accé- — > lération J est donnée par l'égalité :

LOIS GKNKUALES , 349

où l'on désigne par J,, J.,, J3, les accéléralions du point M soumis à la

force \'^ seule, à la force F.^ seule, à la force F3 seule.

Fin multipliant par m les vecteurs accélérations, il vient.

mi = TTjJ, -h mJ^ ■+- mJj, ou

Donc, V accélération prise par le point matériel soumis aux forces — >- — >- — ^ .

F,, Fj, F3 est la même que s'il était soumis à une force unique égale à

leur somme rjéométrique .

Dans l'égalité fondamentale

F = mJ,

nous entendrons désormais que F désigne la somme géométrique des forces agissant sur le point.

Si cette somme est nulle pour une position du point, l'accélération t'st nulle et le point, abandonné sans vitesse initiale dans cette position, demeure au repos. 11 est en équilibre,

Heviarque. — Si nous remplaçons le système de comparaison dit absolument fixe par un autre système animé, par rapport à lui, d'un mouvement de translation rectiligne et uniforme, nous aurons, entre

la force F et laccéléralion J' dans le nouveau système, la même relation

F =: mi',

puisque J' est identique à J.

41. Axes liés à la terre. — Les principes précédents ne sont valables

rigoureusement que pir rapport au système fixe Si Ton prend la terre

comme système de comparaison, système qi e l'on peut déterminer

par trois axes de coordonnées liés à la terre, les formules ne doivent

plus être les mêmes.

-> — >- -y Appelons ia, Jr, Je, les accélérations absolue, relative et dentraîne-

ment d'un point M soumis à des forces dont la somme est F,, lorsqu'on considère son mouvement absolu par rapport au système fixe et son

mouvement relatif par rapport à la terre. Nous savons que J„ n'est

pas égale à la somme des deux autres accélérations; appelons Je le vecteur différence, on aura

Jfl •^— "r ~T~ Je i~ "Cj

350 UYNAMiyUK Dl POINT

et v — V — ). —^

7?iJ„ = mir -+- mie -+■ wiJ,.

Or

donc,

Fj = ?n.|,. -h 7?jJc + 77lJ, .

Telle est réqualion qui doit remplacer régalité fondamentale lorsqu'on prend la terre comme système de comparaison.

La force l'\ est la somme géométrique des forces appliquées à la

surface de la terre dont la somme est F^ et des attractions des astres^

y compris la terre, dont la somme est A, en sorte que

Si le point M est en équilibre par rapport à la terre, on a évidemment J„ = J,, puisque tout se passe comme si le point était lié à la terre. Par exemple, si le point est suspendu à un fil ou à un dynamomètre, il est en équilibre sous l'action des forces A et de la tension du

fil ou du dynamomètre. Par définition, le poids P du point est opposé à cette tension et l'équation fondamentale devient, dans ce cas;

— T-t- A = mi,. En remplaçant mi^ par cette valeur dans

F, -f- A = mi,. H- mi, -h mj^., il vient

Fj -4- P ^ mir -+- mie.

Or, Fg + P représente la somme F des forces qui agissent à la surface de la terre, y compris le poids; l'équation de la dynamique devient

donc -^ v —^

F =z mir -{-mie.

Mais, le calcul montre que le dernier terme est négligeable devant les premiers. On n'en tient compte que dans certaines expériences délicates comme celle du pendule de Foucault. En général, on pourra supprimer ce terme et l'équation fondamentale, devenant

F = mir,

aura la même forme que pour les axes fixes, à condi'inn décompter le poids parmi les forces agissant sur le point.