X-' — (a*-f i)x-hx=z[x — x)[x'-^xx—i

Les différents théorèmes que nous avons exposés jusqu ici, indiquent bien, dans certains cas particuliers, la présence des racines imaginaires dans une équation donnée^ mais aucun d'eux ne résout complètement le problème fondamental de la résolution des équations numériques, celui qui se propose de donner le nombre des racines réelles comprises dans un intervalle donné. € L'Agèbre offrait ainsi une lacune regrettable, mais celte lacune se trouva comblée de la manière la plus heurelise par le fameux théorème de Sturm. Ce grand géomètre communiqua à TAcadémie des Sciences, en 1829, la démonstration de son théorème qui constitue Tune des plus brillantes découvertes dont se soit enrichie l'analyse mathématique (').. »

41041. Définition des fonctions de Sturm. Soit V 1= «i, une équation qui n'a que des racines simples; désignons par V, la dérivée du polynôme V.

En divisant V par V„ on obtient un quotient Q^, et un reste que nous désignerons par Vj, après ravoir changé de signe. On a, d'après cela,

Divisons maintenant V, par V, ; soit Q, le quotient, et V, le reste changé de signe ; on a encore.

l. SciTcl, Ahjèbre àUperteute.

THÉORÈME DE STUUM 543

Si Ton poursuit ces opérations, qui ne sont autre chose que celles que Ton fait pour chercher le plus grand commun diviseur des polynômes V et V,, on aboutit à un reste numérique, puisque V et V, sont des polynômes premiers entre eux. En désignant par V^ le dernier reste, change de signe, on a l'identité finale

Les polynômes

ainsi définis, constituent la suite des fonctions de Slurm.

On voit, en particulier, que la première des fonctions de Sturm est le premier membre de Téquation proposée ; la deuxième est la dérivée de la première fonction; enfin la dernière est une quantité numérique, autre que zéro.

410S. Théorème de SÉurm. Si dans la suite de Slurm on sabsiitue à x, successiveme)U les nombres a e/ ^ (a < 3) ; ^6 nombre îg des variations obtenues, dans cette suite, par la seconde

substitution est égal, ou supérieur, au 7iombre ^^ des variations

qui correspondent à a. Dafis le premier cas (ïg — ï^ = «)> ^l n'y a aucune racine réelle dans r intervalle (a, 6) ; dans le second cas (C^ -— ïa - fc)> il yak racines réelles dans Vinter-

valle (a, 6).

La démonstration de ce théorème remarquable repose sur diverses propriétés que nous établirons successivement.

Première propriété. Deux fonctions consécutives de la suite de Stui'm ne peuvent pas s' annuler, pour une même valeur de X.

Celle propriété est évidente pour les deux dernières fonctions Vy^p V^; puisque celle-ci est un nombre différent de

zéro : elle se vérifie aussi pour les deux premières fonctions V et V,, parce que Téquation V — o n'a que des racines simples. 11 reste à la démontrer pour deux fonctions

:iii TRENTE-SEPTIEME LEÇON

V. n*élant pas la première, el V.^, la dernière, des fondions

de Stumi .

On a, dans cette hypothèse,

Celte identité prouve que si V- et V^ ,, s'annulent pour

X zz a, V,^2 s'annule aussi pour cette même valeur de x. D'après cette remarque toutes les fonctions de Sturm qui suivent \- s'annulent donc pour a? — a : cette conclusion ne peut être acceptée, puisque Ton a V^;zf o.

Autt^ement. On peut encore raisonner ainsi : V^ n'étant pas la première fonction de Sturm, on a

Par suite V^p et toutes les fonctions de Sturm qui précèdent V,., en particulier, les deux premières fonctions V el V,,

s'annuleraient donc pour xzzx : a serait une racine multiple de réqualion V zzo; ceci est en contradiction avecThypo thèse.

Deuxième propriété. Lorsqu'une fonction de Slurm, qui n'est ni la première, ni la dernière, s^annule pour x zr a; le nombre des variations de la suite est le méme^ un peu avant le passage par a, et un peu après.

Remarquons d'abord que la dernière fonction de Sturm est une quantité numérique différente de zéro; elle n'est donc jamais nulle. Nous nous réservons d'examiner tout à l'heure le cas où la première fonction V, passe par zéro ; et, pour le moment nous voulons seulement observer le passage par zéro, d'une fonction V-, qui n*est ni la première, ni la dernière.

Dans cette hypothèse, on a

Soit a une racine réelle de Téquation V,~u, Ce nombre i

n'est pas racine de Téquation V^j zz o, ni de Téqualion V,.^| iz o {première propriété). Lorsque x varie dans l'intervalle (a — e, a-h s), les fonctions V^., et Vq., conservent donc le signe qu'elles possèdent au moment du passage de x^ parla valeur a. Or, l'identité (i) montre que, pour o? = a, V,^, et V,^| ont des valeurs égales et de signes contraires. Ceci prouve qu'un peu avant, et un peu après le passage, V,., et V.^^ ont des valeurs

de signes contraires.

Si, avant le passage, les fonctions V,p V., \V^j donnent

lieu au tableau suivant :

un peu après le passage, ou aura

ou

suivant que V, s'est annulé en changeant, ou en ne changeant pas, de signe. Dans tous les cas, les trois fonctions ^i i> Vp V,.^j présentent le même nombre de variations, un

peu avant, et un peu après, le passage de x par une racine de l'équation V,. =z o. Le seul effet produit dans les variations,

par ce passage, est le déplacement de l'une d'elles ; encore feut-ilqueV,- s'annule, en changeant de signe; dans cette

hypothèse la variation se déplace, de la droite vers la gauche ; le nombre total des variations n'étant d'ailleurs nullement modifié.

TjNrffliénie propriété. Toutes les fois que la variable œ, passe par une racine de V équation Y = o, il y a perte éCune variation dans la suite de Sturm.

Nous savons en effet (§ 46*7), que V et V, ont des signes contraires, avant le passage de o; par une racine de l'équation

V = 0 ; el qu'elles onl le même signe, après ce passage. Il y a donc perte d'une variation dans la suite de Sturm, toutes les fois que la variable x passe par une racine de réquation proposée.

Oonclnsioii* Le théorème de Sturm est la conséquence immédiate, et évidente, des remarques qui précèdent. Imaginons que X varie dans Tintervalle (a, ^)» a étant plus petit que 0. La suite de Sturm perd autant de variations qu'il y a de racines réelles dans cet intervalle. S'il y a le même nombre de variations^ pour a; = a, et pour x nzB, on peut afSrmer qu'il n'y a aucune racine de l'équation V ir o, entre a et 6 ; si non, le nombre des variations perdues indique, exactement, le nombre des racines réelles renfermées dans l'intervalle considéré.

4IOB. Second énoncé dn théorème de Stamt; les limites étant — » et+ <x. Le nombre des couples des racines imaginaires de réquation V ir o, est égal au nombre des variations de la suite formée par les premiers coefflcietUs des fonctiotis de Sturm,

Soient i, m, «,,«„ ... a,,^^, les premiers coefficients des fonctions de Sturm et considérons les deux suites :

(A) 1, -m,-Ha„ .■+-(— «r«m-i>

(B) 1, + m, + a„ ... -4-aw.i.

Soit z le nombre des variations de la suite (A); z' celui des termes de la suite (B). Si dans les fonctions de Sturm ou substitue d'abord ^ oc, on obtient z variations ; en substituant 4- ex» on en a 2'; par suite le nombre R, des racines réelles, est donné par la formule

(i) li- z — z\

D'autre part l'examen des suites (A) et (B) prouve que deux termes consécutifs présentent une variation soit dans (A), soit dans (B), et une seule. On a, d'après cette remarque, et eu observant qu'il y a (m + i ) termes, dans chacune de ces suites,

(■i) zH-z'^m.

Les relations (i) el (2) donnent,

m — R zr. I zz 22'.

U y a donc autant de couples de racines imaginaires que d'unités, dans le nombre z\

4199. Corollaire I. Pour qu'une équation ait toutes ses racines réelleSy il est nécessaire et suffisant que les premiers coefficients des fonctions de Sturm soient positifs,

La formule 1 iz 25', que nous venons d'établir, prouve : i^que si Ton a 2' = o, on a aussi I =: 0 : la condition est donc suffisante ; 2" qu'en supposant I n: o, on a pareillement 5' zz o : la condition est donc nécessaire.

498. Remarque. La méthode de Sturm conduit aux [m — 1 ) conditions suivantes

a, > o, OL^^Oy ... a„,|>o.

Ces inégalités^ lorsqu'elles sont vérifiées, expriment que réquation V = o a toutes ses racines réelles ; les nombres a étant, nous le rappelons, les premiers coefficients' des fonctions de Sturm. Ces conditions ne sont pas nécessairement distinctes^ et nous le montrerons tout à Theure, en appliquant la méthode de Sturm à Téquation générale du troisième degré. Il y a même, toujours, entre ces nombres a, une sorte de dépendance de laquelle il résulte qu'il n'est pas possible d'écrire les inégalités

dans un sens arbitraire. Par exemple on ne peut pas avoir

^i<^> *i>^> ••• *i/H.i<o^ ai/,>o, etc..

En effet le nombre z' des variations de la suite (A) serait alors égal à m, et l'on aurait I = 2m; résultat évidemment impossible. Pourtant cette remarque sur la dépendance des nombres a, n'entraîne pas, avec elle, cette conclusion que les

5i8 TRENTE-SEPTIÈME LEÇON

coadilioQs trouvées par la méthode de Slurm rentrent, nécessairement, les unes dans les autres. Le cas de Téquation bicarrée, que nous examinons plus loin, met ce point hors de doute.

411NI. <yorollali« 11. Lorsque V équation obtenue en égalant à zéro une des fondions de Stumi a ^k racines imaginaires; ou encoreysoit 2k, soit 2* + i racines égales ;V équation proposée admet, au moins^ 2k racines imaginaires.

Considérons trois fonctions de Sturm

et reportons-nous à la démonstration donnée plus haut. On doit observer que si Téquation V = o a toutes ses racines réelles il est nécessaire, non seulement que les (m— i) racines de réquation V,- = o soient réelles et distinctes, mais encore

que V, s'annule, en changeant de signe, et de telle sorte que la

variation que présente les fonctions V,j, V,., V^^j se déplace de

la droite vers la gauche. Si pour un motif, ou pour un autre, cette condition essentielle ne se trouve pas réalisée, si notamment réquation V, = o a ik racines imaginaires, ou, dans

d'autres cas, soit 2/r, soit (2A+ 1) racines égales; la fonction V,. ne laisse passer que m — i—ik variations, au lieu de m — 1.

11 y a donc, certainement, 2k racines imaginaires dans réquation proposée.

tMO. Examen da eas des raeines égales. Nous allons maintenant montrer que, sauf une réserve essentielle, et que nous formulerons plus loin, la méthode de Sturm s'applique encore au cas où réquation V = o a des racines égales.

Supposons donc que V, et sa dérivée V„ admettent un plus grand commun diviseur D. Le calcul qui donne ce polynôme D fournit les identités suivantes

\V„ Ws, ... W^ désignant, bien entendu, non les restes des

divisions successives, mats les restes changés de signe. On remarquera aussi que si W^ représente, comme nous le

supposons, le reste de la division qui précède celle qui se fiait exactement, nous avons

Nous pouvons aussi observer que D divisant V et V,, divise exactement W,, par suite Wt et, en général, tous les polynômes de la suite

Posons donc '

^= (5)' '' = (fr)'"«= (^)'- *''== Çïï}'

les termes de la suite

seront des polynômes entiers et le dernier d'entre eux t?^ est

égal à Tunité Ces polynômes vérifient, d'ailleurs, les identités suivantes

relations qui découlent des identités (i), en divisant par D, les deux membres de chacune d'elles.

Ces fonctions u, «,, ... r, donnent lieu aux remarques suivantes.

1» f^e rapport |— | passe du négatif au positif y quand la variable X passe par une racine de F équation t) = o.

On a, effet

Le rapport rp passe du négatif au positif quand x passe par

une racine de l'équation V := o ; d^ailleurs, abstraction fiiile de

la multiplicité des racines, les équations t) =r o et V = o ont les

V V mêmes racines, les rapports — et rr- ayant, à chaque instante

des valeurs égales, la remarque énoncée est donc vérifiée.

Les deux propriétés qui suivent résultent des identités (i): leur démonstration est toute semblable à celle que nous avons donnée plus haut, pour établir les propriétés semblables, dans les fonctions de Sturm. Il nous suffit donc de les énoncer.

a® Lorsque la variable x passe par une racine (Tune des équations V, rz o, ... v^, — o, la suite

ne perd aucune variation,

3® Lorsque^ au contraire^ x passe par une racine de réqualion V — o, il y a, dans la suite précédente ^ perte dune variation.

De ces trois propriétés des fonctions v on conclut qu'en substituant successivement a et ^, dans la suite (3), le nombre des variations perdues indique, exactement, le nombre des racines réelles comprises dans l'intervalle (a, 0).

On doit, d'ailleurs, remarquer ici qu'il n'est pas nécessaire de calculer les fonctions (3) et qu'on peut leur substituer la suite

(4) V,V„\V,, ..W,; fonctions qui sont fournies par la méthode ordinaire de Sturm.

TFIÉORÈME DE STURM nSi

Ceci tient à ce que les suites (3) et (4) ne différant que par un feicteur commun D (positif ou négatif, il n^importe), elles présentent le même nombre de variations, pour une valeur donnée de x.

En résumé, on pourra donc appliquer la méthode de Sturm à une équation ayant des racines égales, mai^ avec cette restriction importante^ que le nombre des variations perdues, pour a? = a, et pour j? — 6, indique seulement le nombre des racines distinctes comprises dans Vintervalle (a, 3); abstraction faite de leur degré de multiplicité,

SOI. Généralisation du théorème de Storm. Nous avons remarqué, dans le paragraphe précédent, que la méthode de Sturm s'applique à des fonctions qui ne sont pas celles qui constituent ordinairement la suite de Sturm, mais qui jouissent, pourtant, de ce qu*on peut nommer les propriétés essentielles des polynômes de Sturm; ces propriétés étant celles qui sont indispensables à la démonstration que nous avons donnée, plus haut, pour établir le théorème de Sturm. Il résulte, de là, une généralisation de ce théorème qui, ainsi étendu, peut s énoncer dans la forme suivante :

Soit

une suite de polynômes entiers remplissant les conditions suivantes :

i® — est négatif avant le passage de x par une racine de

r équation U — o ; il est positif après le passage, 2" Ujt conserve le même s igné y quand x varie entre a et 6. 3" Trois fonctions U consécutives ^ quelconques y vérifient

V identité

q^lors Véquation U zr o, a autant de racines réelles dans Vintervalle (a, p) qu'il y a de variations perdues dans la suite (A) quand on y substitue à Xy successivement^ les valeurs a et p.

APPLICATIONS DU THBORXUE DE ftTORM.

tMM* Équation du Éroisléme

Considérons d'abord Téquation

Le tableau des fonctions de Sturm est alors

Yzaix^-i-px + q

i« Forme réduite.

Elles sont obtenues par le calcul suivant :

3 OQ

ap 4p*

un

ap ,\ 4P' ^3

Les conditions nécessaires et suffisantes, pour établir la réalité des racines de Téquation V zi o, sont donc

qui rentrent Tune dans Tautre; elles se réduisent, en effets à la condition unique

20 Forme générale. Considérons maintenant Téquation géné> raie du troisième degré

Les fonctions de Sturm sont alors :

V = «* -H jKC* -j- ga? -(- r

ap q

2 (p* — :\q)x -hpq—dr

Ces fonctions sont données par les calculs suivants :

Calcul de V,.

af-hpx^ + qx-i-r

9V, zz2(p*^ 3q)x -hpq — 9^

Ca/cti2 de V,.

>• — Sgrpefo)

iC'

2 (p' — 3(2^)0? 4-pg- 9r "~~ ap pg— 9»*

y—g^") ( p pq—9r \

3 ' 2(p'^3q)\ 3 2(p"-3g); 1 îi(p*-3(y)«V,- -.4|(p'-3^)*+4f (p* ~3g)(p^-9r)-(pî -9^)*.

On trouve ainsi^ pour exprimer la réalité des trois racines de l'équation, les deux inégalités^

CB) (P^ -9r)' - 4^ (p' - 3^) {pq ^ gr) f- 4f (p^ - 3^)* < o.

THENTE-SEPTIÊME LEÇON

Ces conditions rentrent d*ailleurs Tune dans Tautre. (Ex. 4.} MM. Équation Mearrée. Considérons, enfin, Téquation

û^ -\-px'-^q::zo.

On a, dans ce cas,

r=x* -{-px* -\-q

zzq.

Ces fonctions sont données par les calculs développés ci-dessous.

Calcul de \\,

a?* + PiT* -1-7 xr +- - x

Calcul de \\,

px

Calcul de \\.

par

THÉORÈME DE STURM S.'iS

Les conditions, pour la réalité des quatre racines de Téqualion V zz o, sont donc

ou

Ces conditions ne rentrent pas les unes dans les autres.

Nous ferons remarquer ici que si les conditions, en nombre {m — i), fournies par la méthode de Sturm,ne se réduisent pas d'elles-mêmes^ et dans tous les cas, à un nombre moindre, rien ne prouve qu'il ne soit pas possible, par une combinaison convenablement faite sur elles, de les remplacer par des conditions qui sont suffisantes pour exprimer que les m racines de l'équation proposée sont réelles ; le nombre de ces relations étant inférieur à ( m — i). C'est ainsi que, dans le cas de réquation bicarrée, les trois conditions que nous avons trouvées

peuvent être remplacées par les deux inégalités

En effet, le produit q {p' — iq) ne peut être positif que si les deux facteurs ont le même signe. Mais on ne peut avoir, simultanément

q<.o et p* — iq<.»'

On a donc, nécessairement,

7>o et p' — iq>o,

MI4. Remarque. En appliquant la méthode de Sturm à une équation V = o, il faut bien noter que les dividendes ou diviseurs peuvent être multipliés par des facteurs numériques, mais non par des facteurs algébriqueSy dont le signe ne serait pas constant, et connu.

BXBR0ICB8

i . Soit V = o, une équation ayant toutes tes racines réelles et distineUs. On sait (S 499) 9^ Véquation V,==o, Vj étant un des polynômes de Sturm,

a toutes ses racines réelles. Démontrer que ces nombres séparent les raeittes de Véquation V,- . | =0.

S. Ayant posé

et

on sait que V„ =ro est une équation du degré nen y (§146). Démontrer que

lesn racines de cette équation sont réelles, dèslinetes, et comprises entre '}'i et — a.

On considère la suite

Trois termes conséctitife de cette suite vérifient TidentitA

Il en résulte que la suite ne peut perdre de yariation que si y passe par une racine de V„ =0. On remarque d'ailleurs que pour y =r — a, on a

V„— j-î, V, — -a, V, iz f 2, etc..

et, pour v- + ^»

Vo— ^, V,— «, V, 3: «, etc..

Il y a doue n yariations perdues ;

S. Les notations de V exercice précédent étant conservées, démontrer que si Von pose

Véquation

EXERaCES 557

à toutes ses racines réelles, distinctes et comprises entre ^- j ei — a. Des relations

on déduit

OU

Oasobstitue successivement — a et -)-a dans la suite:

U^ U U„„ U„. (Uo=o)

On trouve. d*abord,