PH
(De Giia).
Cette proposition »c v)''rifte fitcilemeiil pour les troi« preiiiiorsi coefficienlfl. On n. en effet,
(Aox"'+A,a;"'~' +A,.t"'"-+ ...)(j::— À) =Ao.r""^' 1(A — A.À)x"' -h(A,-A,X;.r'"-' + ...
Prenons >.zz -- , le coefficient de x^"^ est alors Aj — 7- et comme dnns
Aq Ao
l'équation proposée f{.r)=:o il n'y a pas de racines imaginaires, l'équation (.r — X)^(.r} =<> jou't» *^lle aussi, de cette propriété. La lacime qui provient lie la disp«irition du terme en jp*" doit donc se produire entre deux terme-» ayant des si|(nes contraires. Ou a donc
ou
Aj— AoA, >o.
Cette remarque étant faite, on considère quatre coefûci«*nl8 conséculits A, B, C, D. Soit
540 TRENTE-SmÈME LEÇON
on a
L'équation
a tontes ses racine» réelles si > est réel, on voit donc qae trois coefficienU coniécutifs ne peuvent pas être en progression géométrique. (Tbéorèoie de M. Ilermitc.) L'équation
(C - BX)» - (B - A a) (D — CW
ou
>/(B'— .AC)-X(BC-AD)+r/-BDr:o
a donc ses racines imaginaires. Les deux nombres C— BD,et B« — AC»odI donc le même signe. Le théorème de de Gna découle de cette remaninf". On voit aussi, comme l'a remarqué M. Catalan, que quatre cœ/jfidenit ronséctttifg quelconques A, B, C, D ; d'une é'^uation^ n'ayant que des mcinn r^etles^ vérifient toujours la relatiort
(BC -AD}'— 4(B'-AC)(C* — BD)<o.
6. Si quatre coefficients consécutifs sont quatre termes ronséaitifs de la suite de Lamé, t équation a des racines imaginaires.
Les coefficients considérés sont;), q^ p-\*q%p-\'^qi et, ponr démonlrcr la proposition, on multiplie par.T-— a:— i.
T. Si quatre coefficients consécutifs sont A + B. B« A, B — A : Véquatian a des racines imaginaires.
II suffit de multiplier par x*-{-x—i.
8. Si neuf coefficients consécutifs sont A, B,C: A, B, C: A, B, C: féqvfilion a 4 racines imaginaires ^ au moins.
On multiplie par .r'— i ; on produit ainsi une lacune de 6 leraioi» el comme Ton a introduit deux racines imaginaires seulement il y en nrail donc4t ûu moins, dans l'équation proposée.
On peut facilement généraliser cefto propriété.
H. Véqttation f{.T) = o
fix) = U -h A.rP r Rr^-' ^ Ax^' ^ Cr^"'^ -^ Aj^"' 4- V.
si 1*071 suppose que\} et\ n" offrent que des permanefices, et que A, B. C soient des nombres positifs, a des racines imaginaires.
On remarque que (Jc* + 1 ) /* (.t) n'a que des permanences. L'êquaU«ni f{.r)=nn\'a, donc pas de racines positives et comme elle offre deux varialions, ou a V — P = j.
!•. Lorsque les trots premiers coefficients (V une équation sont i, p, —
efte a des racines imayinairts, si Von suppose p{p'\' m) >o. Oo remarque que l'équation proposée peut a'écrire
i >u pose alors j;-{ — = y et il se produit, duus Téquation trau^roruiée, une
Jacuoe eutrc deux termes de même signe. Daus le cas de p ^ m ou retrouve Texercice (2), avec uae légère modiflcatiou .
H . Si cinq coefficients consécutifs sont
A, B, C, (2B — A), (aC— B);
l'équation a des racines imaginaires.
Ou emploie le multiplicateur xs — jx-f- 1 ; ou remarque d'aillcui's que I équation
x* — IX TT 1 :z: o, a toutes ses raeiues réelles, car lun a
(x* — îx -H i ) = (x- — 1) {x* + X- — 1).
It. Si cinq coefficients consécutifs A, B, C, D, E: vérifient ta relation
