DE NEWTON

&0&. Le problème qui va nous occuper dans cette leçon peut être défini dans les termes suivants :

Étant donné un nombre a^, représentant une valeur approchée (Tune racine incommensurable x' de V équation f{x) i=o; V intervalle (a,, x') ne renfermant aucune racine de cette équation; trouver des nombres a,, a,, ... a„ donnant des valeurs de plus en plus approchées de x\ valeurs telles que ton ail : lim {a^ — x^)^o,pournz=, oo.

On peut résoudre ce problème par trois méthodes principales; la méthode de Newton, celle des parties proportionnelles; enfin par la méthode de Lagrange,

Nous exposerons successivement ces trois méthodes; mais elles reposent toutes sur un problème que nous devons préalablement traiter : nous voulons parler de la séparation des racines.

MIG. li^imratioii [des raeines. On dit qu'une racine o;'^ de réquation f{x) zz o, est séparée par l'intervalle (a, 3) lorsqu'il n'y a aucune autre racine de Téquation, dans cet intervalle. Si Ton suppose a < 3, a est une valeur approchée par défaut, 0 une valeur approchée par excès, de la racine x\

La méthode de Slurm permet de séparer les racines d'une équation donnée.

Substituons, en effet, les nombres a et 3 dans la suite dt;

Siurm : s'il y a perle d'une variation, on sait qu'il existe une seule racine de l'équation dans Tintervalle (a, 3) ; cette racine est donc séparée. Supposons maintenant qu'il y ait perte de deux variations ; ceci indique la présence de deux racines dans rintervalle (a, &), et il faut alors séparer ces racines. A cet eflet, on pourra substituer les nombres

S'il y a perle d'une variation dans Tinlervalle (a, ^^— ^),

les deux racines sont séparées ; Tune est située dans cel inter-

a-f-û valle ; Tautre est comprise entre et ^.

Si, au contraire, il y a perte de deux variations entre deux termes a, et ^i de la suite (i) on pourra considérer la nouvelle suite

et substituer ces nombres dans la suite de Sturm. En remarquant que

Ton voit, qa'au bout de n opérations de ce genre, on aura

Cette égalité prouve que la différence (x„ — ^„) tend vers zérO; quand n croît indéfiniment.

On peut donc dire que la méthode précédente, abstraction &ite de la longueur des calculs, conduit, avec certitude, à la séparation des racines.

R09. Formule de eorrection de IKeivton. Soit a, une valeur approchée^ el donnée, d'une racine inconnue x', de

TRfiNTE-HllITlËME LEÇON

réquation f{x) zz o« Soit h la correction, positive ou négative, qu^il fiiut ajouter à a pour avoir a;'; de telle sorte que

x'zia-*- A.

On a d'ailleurs /*(s+A) =r o, et Tidentîté connue

/^(a-^A)=/(a)-hV(*)+^rWH-..- f ^ ^ ^

donne

o =r(x)+hr {*)+... +

La méthode de Newton consiste à néglifçer, dans le second membre, tous les termes qui suivent A r (^)> et à faire subir au nombre (x, une correction A,, donnée parla formule

C'est la formule que nous voulions établir.

MM. Inteiprétetion s^ométriqve de la foraiale de ewrrevÊMwn de Mewton. Construisons la courbe dont Téquation est

et soit OA == a ; l'ordonnée correspondante A'A, est égale à /"( 2) .

METIIOOES D'APPROXIMATION

Le triangle rectangle A'AC^ donne

AA'ziAClgACA'.

D'ailleurs X'Cx est un angle dont la tangente trigonométrique est égale à f («)• On a donc

IgACA'^-rW,

el, par suile,