AC

On a dope ACn^,, el Ton voit ainsi que la méthode de Newton revient, au fond, à chercher Tintersection de la tarjgente à la courbe, au point considéré, avec Taxe ox.

Cette interprétation géométrique prouve qu&la formule de correction de Newton peut, suivant les cas, être bonne ou mauvaise ; qu'elle peut donner, tantôt une expression plus approchée de la racine et tantôt, au contraire, une valeur qui s'en écartera beaucoup plus que le nombre approché, donné. Dans la figure (i), la méthode de Newton s*appliquerait avec

succès; mais la figure (2) donne un exemple où cette méthode serait absolument en défaut.

562 TRENTE-UU1T1Ë51E LEÇOiN

Puisque, d'après ces explications, la formule de correction de Newton ne donne pas nécessairement une approximation préférable à la valeur donnée, nous devons, avant d'aller plus loin, rechercher dans quelles conditions il convient de se placer, pour appliquer, avec certitude, la méthode que nous exposons.

Nous supposerons, dans ce qui va suivre, qu'avant tout autre calcul, on ait pu déterminer, par la méthode de Sturm, ou par un autre procédé, deux nombres a et 0 remplissant les conditions suivantes :

1» Entre oLet^ily a une seule racine de V équation proposée f{x)zzo.

3*> Dans ce même intef^alley il n'y a aucune racine des équations r (x) ■=. o, f^ (x) ir o.

MM. Théorème. Lorsque f{y) et r (>) ont le même signe, on peut appliquer la méthode de Newton, avec certitude, au nombre a.

En effet Tidentilé établie précédemment (g 297),

donne

On en tire

oiz/-(a)+;na)-f^i^r(a-f-0/0.

^ A») ftV(» + o/0^

ou bien, puisqueA, =

f'iv

A=:A,-f-A,; en posant

On a doue

Nous supposons d'ailleurs : i^ que r (>) ^ le même signe que f{x); 2» que r (a?) conserve le même signe, quand x varie entre a et 0. En supposant ^ > 2, pour fixer les idées, on a

et, à foi'Uoriy puisque 0 est compris entre zéro et Tunilé, ou

Il résulte de cette remarque que le rapport

est positif et que, par suite les deux corrections Aj et A, sent de même sens; la correction A, donne donc une valeur a -♦- A, qui est comprise entre a, et la racine x'.

S^IO. Iliéorèine. Lorsque deux nombres a et ^, i^ne coni" prennent aucune racine des équations f(x)zzo^ f(x)zzo ao sont telSy qu'une seule racine de Véquation fix) =: u soit comprise dans Vintervalle (a, 3) ; to méihode de Newton s^ applique^ avec certitude, à Vun de ces nombres^ mais à un seuL

Considérons, en effet, les deux rapports

Les numérateurs ont des signes contraires, mais le^ dénominateurs ont le même signe. L*un des nombres^ uou t?, est donc nécessairement positif; au contraire^ l'autre est négatif» Si Ton

56t TRENTE-IIUITIÈME LEÇON

suppose^ par exemple^ <« > o ; la méthode de Newton s'appliquera, avec certitude, au nombre a. Elle peut aussi être appliquée au nombre 3; mais, dans ce cas, on ne peut plus afBrmer que la valeur corrigée soit plus approchée que la valeur donnée.

S^l 1 . Théorème. Si la méthode de Newton a été appliquée j avec certitude, à la valeur a, et si elle a donné une nouvelle valeur n^^cette méthode s'applique aussi, avec certitude, à 2,.

Nous avons vu tout à Theure qu'en prenant la valeur x = 2,

valeur qui rend positif le rapport '^ , la formule de Newlon

donnait une correction h^, dans le sens voulu, mais insuffisante pour que a+A, puisse atteindre, ou dépasser, la racine x'. Ainsi «, est compris entre a et x'. D'après cela f{<x) et /"(a,) et par^uite, les rapports,

ont le même signe, puisque /'''(â;) conserve un signe consUml, quandx varie deaà ^. La méthode de Newton s'appliquaul

à a, avec certitude, on a \>o; par conséquent ' . est

positif, et la méthode de Newlon s*applique aussi, avec*certitude, à la valeur approchée x^ .

l&titm Théorème. La méthode de Newton, appliquée comme il vient d^étre dit, conduit à une limite; cette limite est la racine cherchée x\

Supposons, pour plus de précision, que a désigne celle des deux limites a, ^ à laquelle s'applique la méthode, avec certitude, et soit a < 3.

La formule de correclion permet de calculer des nombres

toujours croissants et toujours inférieurs à x'. Ils onl donc

MfiTHODES D'APPROXIMATION 565

une limite : mais il faut montrer que celte limite est précisément a;'.

Je dis d*abord que l*on a

(i) Lim (a^ — a„,) — o, (pour nzz »).

Supposons en efTet.que cette limite, limite qui existe nécessairement puisque, d'une part, le nombre variable (a„— a„|)

est supérieur à zéro, et qu'il est, d'autre part, inférieur à (3— a), soit un nombre A, différent de zéro. En prenant dans l'intervalle (o, ^), un nombre fixe k', on aurait, à partir d'un certain moment,

et, par conséquent,

En donnant à n une valeur suffisamment grande, le second membre de cette inégalité dépasse toute limite, tandis que le premier membre, quel que soit n, conserve une valeur inférieure à (g — a). Ces deux conclusions sont contra dicl cires, et Ton doit admettre l'égalité (i).

Ceci trosé, comme Ton a

et, aussi,

on a donc

I îm f (""^ -

Lim — : — r :=. o.

D'ailleurs f'{x) a une valeur finie, quelle que soit la limite de^.

limite qui est elle-noème une quantité finie, on a, finalement

lim /•{«„) rro,

lim (a„) zzx'.

puisqu'il n'y a qu'une seule racine de réquation/'(a?)ir «, entre 9, et 0.

&18. Remarque. La propriété que nous avons établie tout à rbeure (§ 509) et qui est fondamentale dans Fexposition delà méthode de Newton, peut se reconnaître aussi par les considérations géométriques suivantes.

Les hypothèses que nous avons faites précédemment étant maintenues, on voit facilement qu'entre a: =r a et a: zr g, la forme de la courbe y -=. f{x) est l'une ou l'autre de celles que nous représentons ici.

Pig. (5).

FIg. Ib)

Examinons la disposition donnée par la figure (3). La méthode de Newton s'applique avec certitude au point A'. Quand X croît, au delà de a, Tangle X'Cx augmente ; la tangente trigonométrique de cet angle obtus diminue, en valeur absolue» mais augmente, en réalité, puisqu'elle est négative, hà fonction f*(x) allant en croissant, sa dérivée /* (x) est positive, pour a? —a. D'ailleurs, AA.'oufU) est une ordonnée

positive ; ainsi le rapport -t^^ prend une valeur positive pour

celle des deux limites données à laquelle la méthode de Newton s'applique avec certitude ; du moins lorsque la courbe présente la disposition qu'indique la figure (3). Mais en appliquant cette façon de raisonner aux autres figures on reconnaît que la conclusion précédente s'applique à tous les cas.

S^i4. MéÉhodc par le» iiarties iiroportioiinellesu

Cette méthode a pour but de calculer une valeur Pi plus approchée que P ; 3 désignant celui des deux nombres donnés auquel la méthode de Newton ne s'applique pas avec cerlitude.

Menons la corde A'B' ; les triangles semblables AA'D, BB'D

Fil

donnent la proportion

BD WB AÏJ " A' A'

Bï)