V.-V„=:(ar-«)W

Dans cette identité, W^ désigne l'ensemble dos termes, entre

accolades, qui suivent le facteur {x — a), dans Tldentito (i). Il est maintenant facile de reconnaitre que Ton a

63i NOTR B

On a, en offel,

+ Afii-3'^a, 1 OU, en vertu de Tégalité (B),

W« ^ Ao^*". ^ [1 4- î« 4- . .. -I- (Ml ■— i)l

D'ailleurs, si Ton pose :

S^r: i-f.îî4-34- . . -4-;), ou,

on a :

«Sp = /?(/? 4-1).

En tenant compte de celte relation, on obtient : 2W„=r/H(?w— i)Aort''*""4-(m — i)(7H—2)A//"'"^4-.. .4-^.1 A^,,

ou, enfin.

La démonstration du théorème énoncé est maintenant très simple. On a successivement établi que l'on avait

avec les conditions :

on a, par conséquent,

Si Ton suppose que Ton ait, à la fois, U^ =: o, U^ n o ; U^ est divisible par (x — a)\ et Ton peut poser :

Alors de deux choses Tune : ou Ton suppose W^ pi o par suite, D^ ^ o, et, dans ce cas, U^ n'est pas divisible (par x — aY; on, au contraire, on suppose W„ n o, par conséqu'ent l]"^z=:o, et alors W est divisible par {x — a)'. En résumé, les conditions nécessaires et suffisantes^ pour que V^ soit divisible par {x — rt)*\ sont

U„zro, u;-o, r:~o.

f . Reconnaître que U :

eft divisible par y :

V sa?* - :^x*y -h 3xy* - y\

On vérifie qae U, U', U*' s'annulent pour x = y. S. Calculer le quotient

i — X cos ? — ip" cos wo -+-a;""*"* cos (w — i ) e

1 — 2x cos 9 -h or"

Réponse :