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• • • "^^«X^itt 1

Les coefiicienls du quolienl vérifient donc la loi suivante: <* un coefficient quelconque, celui de jc^ par exemple, est égal à Aott^"*-!- Aja*^""*-!- . . . + A^.^i ; 2** entre deux coefficients consécn- '*/* V;^„ V^., on a la relation

Vi,-.,=aV,.-hA,..

ift. Divisibiliié pai* (a;+a). Rien ne suppose, dans ce que nous venons de dire, que a désigne unnombre positif ou négatif ; pourtant si on veut mettre en évidence le signe de cette lettre, on pourra dire : i® que si U^ zi o, U^ est divisible par

{X H- a) ; a« que si Von suppose U^ ;zf o, U^^, divisé par [x + a\

donne un reste égal à U^.

S. Divisibilité pwkw {a/^dza^). Ciierclions maintenant les caractères de divisibilité de U^ par des diviseurs de la forme

(^ ± ^)% P étant entier et positif.

Le calcul suivant :

H, = oP»*"'' - o

DIVISIBILITÉ ALr.ÉBRIQUE 620

prouve que si la relation m :=: k-p est vérifiée par une valeur entière de A, on a R^^ :z o ; la division se fait exactement et le quo

Vît

tient renferme — termes, qui se succèdent suivant une loi

simple, loi rendue évidente par le calcul précédent. On peut appliquer cette méthode aux exemples analogues :

Le quatrième cas, celui de , conduit à une division

x^ — cf

qui ne peut jamais se faire exactement ; en effet, le diviseur

s'annule pour xzza, et le dividende prend, pour xzza^ la

valeur la^*

G. Dii'isibiliÉé par (a;— a) [x—b), Ciierchons maintenant les caractères de divisibilité de U^ par {x — a) {x — b) ; nous

démontrerons d'abord le théorème suivant : Théorème. Pour que le polynôme entier U^ soit divisible

exactement par le'produit {x — a) (x — 6), en supposant a^b^ il est nécessaire et suffisant que Von ait U^ ir o, U^ =: ».

En effet, U^ étant divisible par a? — a, on a (§ a) l\z:io; on

a, de même, U^ zi o ; mais il faut démontrer que ces conditions

sont suffisantes.

Si, dans l'identité

on fait xzzb, Vf, étant nul, il vient'

Il en résulte V^ =r o, puisque b est différent do a. Ainsi V^ est divisible par x — b, et Ton peut écrire :

W^ étant un polynôme entier. On a donc enfin

et cette identité prouve que U^ est divisible par le produit

Le théorème proposé est donc démontré ; on retend facilement à un nombre quelconque de facteurs binômes différents.

If. InÉroduetion du polyndme dérivé. Ici se présente, dans Talgèbre élémentaire, une difficulté, lorsqu'on se propose (c*est le cas particulier du problème précédent) de chercher les caractères de divisibilité de V^ par {x — a)*. Les deux

conditions trouvées : U„ zz o, l\ rr o se réduisent, si 6 = a, à

la condition unique, nécessaire mais non suffisante, U^iro.

La recherche des conditions suffisantes constitue la difficulté que nous venons de signaler.

Reprenons les conditions du cas général

IJ^ rr Aoa*" -h A.a"*""' ^ ... + A^ zz o, . l\ n Aoô*" 4- A^b'"""' H- . . . -1- A^ = o.

On peut remplacer Tune d'elles par la combinaison

AoCa"*-* -h ôa"*"- 4- ... + b"^'^) '

zzo.

^TO-i

DIVISIBILITÉ ALr.ÉBRIQUE cni

Si nous supposons que a tonde îw.<?ô, celle relalion devient, ii la limile

mk.fr'' -^ {m ^ i) A,//"^"' + ... + A,„^j - o.

Celle remarque étant faite, nous appellerons jmhjnôme dârivè, d'un polynôme donné U^,

(:^-:Aça:'*^ + A..r"-'-h... f- A„,,;r-f- A^,

un polynôme qu'on déduit de U^ par la loi suivante : i** Si

h^x"^"^ est nn terme de T^, {jn — fe) A^a;*"""*"* est le terme correspondant du polynôme dérivé ; 2® la constante A„, de U^ ne

paraît pas dans le polynôme dérivé.

En désignant par UJ. le polynôme dérivé de U^ on a, d'après celle définition,

rls/nAo.'c"'"'-+-(m— i)A,a:'"~--f ...-f A,„^,.

H, Théorème. Pour qu un polynôme Vj.soit divisible exac-

tentent par (a?— «)*, 'V est nécessaire et suffisant que Von ait ('^^ n: o, U^ =: o ; c'est-à-dire qu'il est nécessaire et snffl^iant que a

annule le polynôme proposé et le polynôme dérivé.

Nous avons déjà reconnu (g 6j, que ces conditions étaient nécessaires ; mais il reste à montrer qu'elles sont suffisantes.

On a :

U^ ^ AqJ^ ~r A|.r -[-...-+- A j^j__iir -f- A j^^, U„ = A,/?*" + A./T."-* + . .. -f- A„,/7 + A„ ;

par suite, puisque U„ = o,

Ao (x"--' + flx"'-* + . . . + «•"-') A, (o^"* -i- nxr^ + ... + «"'"-)

V^ désignant le polynôme entier placé entre les deux accolades.

On a d'ailleurs

Puisqu'on suppose U;, = o, on a donc aussi V^ — o. Le polynôme Vj. est donc divisible par {x — r/), et Ton peut poser

On a donc, finalement,

ce qui prouve bien que, si Ton a U„ zi o, et U^ := «»; U^ est exactement divisible par {œ— o)\

9. Polynôme dérivé se<Nmd* On peut généraliser les idées précédentes et après avoir définile polynôme U', dérivé de U, nous pourrons imaginer, de la même iaçon, le polynôme dérivé de U'. Nous désignerons ce polynôme par U^ et nous le nommerons polynôme dérivé second. Nous avons donc, diaprés ces définitions

11^ smAûX*""* -f- {m — i) A,.r"*""- -f- . .. -f- nA^^-h i . A^,, U"sm(m-i)AcKC*^"- + (m— i)(m— a)A.x'""V i.aA. ,.

Nous nous proposons maintenant de rechercher les caractères de divisibilité de U, par (x— a)\

lO. Divisibilité par (a;— a)'. Tiiéoréiiie. Pour qu^un j)olynôme entier U^ soit divisible par {x—a)\ il est nécessaire

et suffisant que Von ait:

DIVISiOIUTË ALCÉeniQUE ti:U

Soit posé :

II, „ = a;*" 4- oa;'""' -I- «»a:"'"- + ... + «•«.

On a

et, par suite,

En posant :

et en tenant compte de Tégalité (B), on a d'abord

V„ = A.»ia"-' + A, (w ,)«'"--+ . . + A,^,î!« + A„,, ; puis, en tenant compte de (C),

(1) V,~V„s(a;-a)^^ ou