rVombre des termes da déTeloppemeot de X

Les termes de la formule (ta) étant de la forme a*6P . . . f'^, avec la condition a-h3+--f-^=»î> ilya autant de termes que Ton peut faire de combinaisons complètes avec les lettres a, &, . . . /, prises m à m. Si l'on suppose ces lettres en nombre p, il y aura donc yP termes dans X.

Mais on a trouvé

et, comme

on aura donc

j,im +p — i) (m +p — -i) . . . îM

ou

On prendra Tune ou Tautre de ces formules ; la première de préférence, si m < p — i ; Ja deuxième dans le cas contraire.

4MI« Théorèmes d*Ealer et de Fermât. On peut déduire de la formule (ta), une démonstration des théorèmes d*£uler et de Fermât.

Imaginons que dans cette formule^ qui a lieu pour toutes les valeurs de a, b,Cy , . /, on fasse a zzbzzc zz , ., :z:/=i;le premier membre devient p'«, les lettres étant supposées en nombre p. Dans le second membre se trouvent, parmi les termes qui le constituent, a»»*, 6'«, . . . /'», dont la somme devient égale à p, de telle sorte que

M désigne ce que devient l'ensemble de tous les autres termes du développement dans Thypothèse aizôzzc... =zZ— i. Un terme quelconque de M est, dan s cette hypothèse, de la forme

ml

alpl.-.X!

Gomme on suppose « -h p +...-+- X := m, les nombres positifs, a, 3, ... X sont tous inférieurs à m. Il n'y a d'exception à cette règle que si l'on suppose tous les nombres «, p, . . . X nuls, à l'exception d'un seul ; celui-ci étant nécessairement égal à m. Mais alors le terme qui correspond à cette hypothèse particulière, le terme Y ir H a« ôP . . . /^ (H étant dans ce cas égal à i) devient l'un des nombres a*", 6*», . . . ^«. Ces nombres constituent le groupe que nous avons d'abord considéré, et qui, comme nous Pavons remarqué, a pris la valeur p. On peut donc affirmer que, dans les termes de M, les lettres a, p, . . . X représentent toujours des nombres positifs, et inférieurs à m. D'ailleurs H est un nombre entier. Si nous supposons que m soit un nombre premier, après la simplification que comporte H et qui a pour but de lui donner la forme entière, on peut être certain que le nombre premier m n'entrant pas au dénominateur, sera l'un des facteurs de cette forme entière.

Ainsi tous les termes de M, mis sous la forme entière, seront divisibles par m ; le nombre (p»» — p) est donc lui-même divisible par m. On arrive ainsi au théorème d'Euler :

411. Théorème. Si m est un nombre premier absolu, et p un nombre entier quelconque, la différence p"* — p est toujours divisible par m.

Le théorème de Fermât n'est, à proprement parler, qu'un coroUaûre du précédent. Puisque (p^ — p) est divisible par w, on peut écrire

p(pw-»— i) zzmA, A désignant un nombre entier. Si Ton suppose que le nom-

bre premier m, ne divise pas p ; divisant le produit p (p»-* — i) et étant premier avec le facteur p, il doit donc diviser Tautre facteur (p»»-* — i). Cette remarque constitue le théorème de Fermai, qui peut s'énoncer ainsi :

419. Théorème. Si m est un nombre premier ne divisant pas p, il divise nécessairement (p'^^ — i).

i. Démontrer à priori que les coefficienis binômiaux également éloignés des extrêmes sont égaux»

On remarque, comme une conséquence de la multiplication algébrique,

que (i 4- xy^ est, après développement, une fonction entière de x de degré m. On pose

(i + 0;)"»= Aaar" + A^a;»»-* H- ... H- A^^x H- Am, puis on change x en -.

Z, Démontrer les deux identités

cp - c^'c;. + c^c^. . . . + c^. = - c^

yp — ^p Vh-< ' VP P+i • • • ^JH-^ — P

dans lesquelles C représente, bien entendu, les conbinaisons de a objets pris

On développera (x+i)P ei (x — i)P-^ ^, puis on fera le produit de ces deux développements. On observera que

et Ton trouvera facilement les deux identités proposés. H faut pourtant distinguer deux cas : suivant que Ton considère, dans ce dernier développement, un tenue de rang pair ou un terme de rang impair.