FORMULE DU BINOME
81. La formule que nous nous proposons d'établir, formule due à Newton, est celle qui donne le développement, suivant les puissances croissantes de x^ de la puissance m'*'"" du binôme (a? -h a); m étant un nombre entier et positif. En généralisant ce problème, on est naturellement conduit à rechercher le développement du produit,
Vzz{x + a){x-hb) {X'hc)...{x-hl)
en supposant les lettres a, b. c, . . . l en nombre m. On peut, en effet, considérer (x-^ aY comme un cas particulier deP, celui où l'on suppose azzbzzc , ..zzL
89. Théorème. Si Von désigne par Sp, la somme des combinaisons p àp, ces lettres a,b,c...,l;ona
(i) (a:4-a)(a:4-6)(x4-c)...(a:-h/)=:x'»-l-S,x«--»-|-SjX"»-2 + ...-|-
On peut établir cette identité en démontrant qu'un terme quelconque du premier membre existe dans le second et vice versa. Considérons un terme du premier membre ; il est nécessairement obtenu en prenant la lettre x dans (m — p) binômes et les lettres autres que x dans les p autres binômes, (p ^ m). Ces dernières constituent par leur produit une combinaison des lettres données a, b,c. , . , l prises p à p ; le terme ainsi obtenu fait donc partie, dans le second membre, du groupe Spx"»-p. - Réciproquement, prenons un terme quelconque du second membre, par exemple le terme Ax»»-*, du groupe S*a;*«-* ^<^^); je dis que ce terme existe aussi dans le premier
membre, lorsquMl a été développé. Remarquons, en effet, que A représente une combinaison de m lettres prises kkk; soulignons dans le premier membre tous les binômes qui renferment ces k lettres et multiplions celles-ci par la lettre x prise dans tous les binômes non soulignés. Le produit obtenu est un des termes du premier membre, et Tidentité se trouve ainsi démontrée.
Formule dn binéme. Si Ton considère le coefficient Sp de ridentité précédente, et si Ton suppose
tous les termes de Sp deviennent égaux à op. Le nombre de ces termes est égal au nombre des combinaisons de m lettres prises pàp'yon voit donc que, dans cette hypothèse particulière, on a
SpzzaPC^y ridentité (i) devient alors
Si nous tenons compte de la formule des combinaisons établie plus haut, nous obtenons la formule
H ^ — î^ ^ ^ ap a:»»-' -h ... -h a"*.
Nous pouvons aussi la réprésenter, en prenant une notation abrégée, par
(4) (a?+'fl)«=Aoa^+A,aa:'n-«-l-Aja»a;"»-î-l-...--f-APa^a;'»-/' -4-...-hAma«».
II suffit de poser A© =:: i et
(3 j An — Lifg^^
Telle est cette formule du binôme, formule due à Newton et qui est fréquemment employée dans Tanalyse. On peut observer que le développement du binôme renferme (m -h t) termes. Les coefficients de ces termes donnent lieu à diverses remarques que nous allons successivement établir.
341. Remarques. ±^ Detuc coefficients binômiaux consécutifs Ap-1 , Ap satisfont à la loi de récurrence suivante
(^) Ap — p ^P-^ •
Ceci résulte immédiatement de la formule (5), formule qui donne
^in[m — 1^ . .. (;n — p-l- a)
En divisant, membre à membre, les égalités (5) et (7), on obtient bien la relation,
A» — Ap-i .
2* Deux coefficients également éloignés des extrêmes sont égaux.
En effet hp est le coefficient du terme qui on a p avant lui ; de même, km^pX? est le terme qui en a {m — p) avant lui.
Il y a d'ailleurs (m+ i) termes dans le développement, il y en a donc p après Am^pXP ; il faut donc reconnaître que
rip ZlAm— /)♦
ou que
propriété démontrée précédemment.
3® Lorsque m est pair, les coefficients vont en augmentant jusques et y compris le terme du milieu, et, lorsque m est impair, les coefficients augmentent pendant la p7*emière moitié du développement.
La relation (6) prouve que les coefficients augmentent tant que rinégalité
ou, puisque p est positif, tant que Tinégalité
est vérifiée.
Nous distinguerons deux cas, suivant que m est pair ou impair.
Premier cas. Supposons d*abord m pair ; soit m i= 2A. 11 y a (2A+ 1) termes dans la formule de Newton. L'un d'eux occupe la place du milieu : c^est celui qui a A termes avant lui et h termes après lui. Dans notre notation, ce terme s'écrit AAa^x*. L'inégalité (8) devient alors
p est entier et il ne peut être inférieur à A + - que s'il prend
les valeurs o^ 1, 2..., A; donc tous les coefficients Ao, At^ Ai... Aa sont rangés par ordre de grandeur croissante.
D'ailleurs, et d'après la remarque précédente, les coefficients qui suivent le terme du milieu étant respectivement égaux à Aa-i- . . , Ao, la suite Aa+i. . . , hu représente des nombres décroissants.
Deuxième cas. Dans l'autre cas, celui où m est impair, m — 2A + 1 ; l'inégalité (8) devient
On voit par là que p ne peut prendre, pour obtenir des coefficients croissants, que les valeurs o, 1, 2..., A. Ainsi, Ao, Ai,... kh est une suite croissante, et, Aa+i . . . , A^a+i est une suile décroissante.
4** La somme des coefficients binômiauxde (x -j- a)^ est toujours égale à 2^. En effet, ridenlilé,
{x-ha)^::s:A^x^-hAiax'^''^ ^...H- Aw a^
donne, pour a? zz a zz i ,
2*» zz Ao 4- A4 -I- Aa 4- . . . 4- Am.
5« Le développement de (x— a)»», peut se faire par la formule
(9) (a? — a)"» = Aoa;'»— A4a»xw~»+ ...-h (- i)P' Ap aP oc^'P
+ ...-f-(— i)«Ama»».
Pour établir cette identité, il suffit de changer a en (— a) dans la formule de Newton.
6^ Les coefficients hinômiaux d^ indice impair forment une somme toujours égale à celle des coefficients d indice pair.
Si l'on suppose x-^ia dans (9), on obtient,
Ceci prouve la proposition énoncée, proposition qui d'après la deuxième remarque, était évidente pour m impair. D'autre part, si Ton observe que
Aq 4- A» -h . . . 4- Am zz u»»,
on a encore
(10) Ao4-A,4-...zzA4 4-A,4-...zza«n-«.
Pour vérifier les propositions qui précèdent sur un exemple numérique, considérons le développement de (a; 4- a) 6
;j?4-«)*zzAoX'4-Aiflx'4-AjaV4-A3a'a;'4-A4a*a;'4-Aja=a:4-Aea*.
On a bien conformément aux propriétés démontrées tout à l'heure,
AoZzAfl=: 1,
Al zzA^nG,
Aa=A4iz: i4,
A3 zz 20,
Ao4-A, + ...4-AeZz64n2«, Ao4-A,4-A44-AeZzA44-A3 + A5 = 32zi2».
3&. ISomme des caurrés des CNieftteients bteomiaaiL.
Considérons les deux identités
(x -h a)« s: Ao J7™ -h A» or*»-* + . . . 4- Am a»», (x-h a)»» s: Am a'« + Aw-i a»»-» a; -4- . . . + Ao o;^.
Multiplions les^ puis égalons dans les deux membres, les coefficients de x^a^ . Tenons compte d'ailleurs des égalités Aq = Am, A| = Afii-i etc., nous obtenons
^^-r — ' -— . — Ao' + A i' 4- . . . A^,
ou encore
(il) Ao'4-A,--f-...-4-A^ =
SB. Paissmnee d^an polyndme. Considérons Texpression
m étant un nombre entier et positif. On peut dire que X est le produit de m facteurs égaux à (a -h ô + c + . . . 4- Q. Un terme quelconque de X pent donc être conçu comme obtenu en prenant a, dans a facteurs, b dans 3 facteurs, etc. ; / dans X facteurs a. Les nombres a, ^, . . .,X sont nuls ou positifs, mais on suppose toujours
D'après cette remarque, et sous la réserve de cette condition, on peut dire qu'un terme quelconque du développement cherché est
U &ut maintenant déterminer le coefiScient H . A cet effet, remarquons que la puissance m^ de (a -f- 6 + c ■ .. + /) est le produit des m polynômes
{a^b-hc,..'-hl){a-\'b-hc.,. + l)...{a-hb-hC'h.'. H-O- Prenons une lettre dan^ chaque facteur et écrivons les lettres
ainsi choisies, les unes à la suite des autres, en plaçant la première, celle qui est prise dans le premier facteur, la seconde, celle qui est prise dans le deuxième et ainsi de suite. Nous formons ainsi une permutation de m lettres dont a sont identiques à a, 0 à 6, . . .| X à ^* à chaque disposition de ces lettres correspond une manière de former le terme considéré. Le coefficient de ce terme sera donc égal au nombre de permutations de m lettres dont a sont identiques à a, 3 si ^9 • • • X à /, c'est-à-dire à Rm* Ainsi on a
ou
Ji • p • • • • A •
On a donc la formule
31. Da symbole O! Le raisonnement n'est nullement en défaut si Tune des lettres^ a par exemple, n'entre pas dans les termes considérés, termes constituant un groupe analogue à celui que nous avons considéré tout à Theure. 11 suffit d'envisager les permutations avec répétitions des lettres 6, c, . ,A; h étant répété P fois, . . ., ^ X fois ; mais, bien entendu, avec la condition
En appliquant à ce cas particulier le raisonnement que nous avons fait tout à l'heure, on trouve que le coefficient qui correspond au terme considéré est égal à
Éi!Y---->-'
On peut convenir, dans le but de généraliser la formule (B), que l'expression symbolique o! à laquelle on est conduit en faisant, dans (B), l'hypothèse a zro, qui correspond au cas
particulier qui nous occupe, sera remplacé par Tanité. Avec cette convention, la formule (la) est générale. Le signe S de cette formule veut dire que le second membre est constitué avec tous les termes de la forme
2^ 0 . . .X représentant toutes les solutions entières^ positives ou nulles, de Téquation
(G) a-f-g + ... + A:rm.
Il faut pourtant accepter cette restriction que, par convention, on écrit o 1 — i .
88* Procédé pratique pour le développemeot de la poiasaoee m d'un polynéme. La formule (la), comme beaucoup de formules analogues de l'analyse, présente, dans Tapplication, une difficulté évidente, difficulté qui tient à la recherche de toutes les solutions Rentières positives ou nulles de l'équation (G). Dans la pratique, il est plus simple d'opérer de la manière suivante. On considère (6 + c + . . . + 0 comme ne formant qu'une lettre. On développe, par la formule du binôme, l'expression
On opère de même, sur (6 + c-h. .. +Z), en considérant (c-f- . . . +0 comme formant une lettre. On obtient ainsi de proche en proche, le développement demandé.
Soit proposé, par exemple, le développement de {a-hb-hcY; on a
I ou
(a + ô-+-c)'z=a' + 3a*(6-hc)4-3a(6-+-c)'+{6-f-c)' ou enfin, après réduction
Pour développer la puissance m*^«« d'un polynôme on peut aussi former toutes les combinaisons complètes mk m des lettres a, b, c, . . . l, et affecter chaque combinaison du coefficient convenable.
