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THÉORÈME DE BINET ET DE CAUCHY
1 . Définition. On appelle déterminant symétrique, un déterminant dans lequel les éléments placés symétriquement, par rapport à la diagonale principale, sont égaux; on a donc a^ :=: a?, pour toutes les valeurs de a et de g. Si Ton change les lignes en colonnes, et vice versa, l'élément b^, du second déterminant, est égal à a^; et, par conséquent, égal à a^. Il en résulte que les déterminants mineurs, relatifs aux éléments al et a*, sont égaux.
1©. Tiiéoréme. Soit D ie coefficient de Vêlement «r^ dans le déterminant A, D^', le coefficient de a^î dans le déterminant D, OH a :
souslesigne^, les indices xel'^ sont invariables; 2' doit prendre toutes les valeurs 1, 2, 3, ... n excepté la valeur a, et g' toutes les valeurs 1, 2, 3 ... «, excepté la valeur g.
En effet, tous les termes de A qui contiennent l'élément a^ sont compris, par hypothèse, dansle produit aH). Las autres termes renferment donc des éléments distincts appartenant, l'un à la ligne a, Tautre à la colonne 3. Réunissons tous les termes où se trouvent les éléments a^ et a^^ et représentons
leur somme par a^' . «^,A. Si, dans chacun de ces termes, on
permute les indices fi et }»', on obtient des termes de signes contraires ; la somme de ces nouveaux termes est donc égale
D*aulre part, ces termes se trouvent dans le produit a^D, et puisque D^' est le coefficient de a^) dans D, leur somme est: aPflP'DÇ'Onadonc: A=: — D^' et, par suite, dans le détermi*
01 (X' (X' et' *■
nant A, la somme des termes contenant les éléments a^' et
a^,est: — aPV,DP'. Ainsi
3. Corollali^ I. Si Ton suppose a = ^ =: i , on a D = Aj ; cl en appelant A]^! le déterminant mineur déduit de A} par la suppression de la ligne, et de la colonne qui se croisent sur rélément aKy on a :
A = alA|i:(-.)«'+!''«X'A!;S:;;
ou, en supprimant les accents,
A=«jA}-S(-.)«+Paf«;.A;|.
Dans cette formule les indices x et 0 doivent recevoir les valeurs 2, 3, ... n.
41. Corollaire II. Appliquons cette foi*mule à un déterminant symétrique et, à cet effet, considérons séparément les termes, compris sous le signe ^, pour lesquels on a a = 2, et ceux pour lesquels a et ^ sont différents. Puisque Ton suppose «5*=:ajj, la somme des premiers est — S(— i)'"a,*aJjAÎ'",ou
— S(a»)*A|'*. Les autres termes sont égaux deux à deux. En effet, soient deux termes afaJjAj^P, «fa^Aj;*; ils ont le
même signe, celui de — (— O""*"^; et ils sont égaux, car A} étant un déterminant symétrique, les deux déterminants mineurs relatifs aux éléments a\ et a^ sont égaux.
THEOREME DE BINET ET DE CALCIIY
Ainsi Aj'^nAÎ^Q el comme a^=:a^, et aj^ira^.
on a, finalement,
A = al Al - ï «)'Ai:« - .ï (- .)»+P«r«?A;;f[.
l'ar exemple ;
^ACA'A'— B')— B**A"— B"A'— 2(— i)'B'b''B
\Hy»
zzA^VA'— AB*-A'ir— A^B'^fiBB'B
(O.UJ
zza'a''-\'b'b''-hc\'''-iaba'b*-''iaca'c'—2bcb'c\
5. lléeoinp«is»itioa d*an déÉemiiaant en une stouime de prodnitai de déÉerminnnto. Théorème. Si ioKs les eVe. menis d'un délermhunU d^ ordre n, situés dtuis les p pretnièi^es cofonnes el les [n^p) dernières lignes^ sont nulsy ce détei^minanl est égal au produit d^ui déterminant d ordre p, par un déterminant d! ordre {n — p).
Soit le déterminant :
«1 nz
pfl
o ... o a^^y il ... « ^|P+i
((P ti^''^ ... a'\
et soit posé :
a ir p f
a\ (1% ... aS
et ir —
Je dis que Ton a : A zz DD'.
En effet, i"" un terme de A est le produit d'un terme de D, par un terme de D'. Car un terme de A, différent de zéro, contient un élément pris dans chacune desp premières colonnes et dans chacune desp premières lignes, et par suite un élément pris dans chacune des (n — p) dernières lignes et colonnes. Ce terme peut donc s'écrire :
^i> ««1 « • ^ désignant, dans un certain ordre, les nombres i, 2, ...p; et ^p+i» ap|-2 ••• ^n» i^s nombres j9-f- i,p4- a, ... m. Le nombre des inversions des indices supérieurs est nul ; et le nombre des inversions des indices inférieurs est égal à la
somme des nombres d'inversions des deux suites a,, a,, ... Xp et (Xp^xy Xpj^i, ... a„. Si ces deux nombres sont de même parité, le terme considéré a le signe -h ; s'ils sont de parités différentes, ilale signe- Or (4,, 4^, ... «y, et («„^^,. «Ç^^, ... «:)
sont, en valeur absolue, des termes de D et de D^et ils doivent être affectés du même signe ou de signes différents, selon que les suites des indices inférieurs sont de même parité, ou de
parités différentes. Ainsi, le terme considéré est, en valeur, et en signe, le produit de deux termes des déterminants D
On voit de même que réciproquement le produit de deux
termes quelconques de D et D'est un terme du déterminant A.
G. Ilicorèmc. Si tous les éléments situés dam les colonnes
THÉORÈME DE filNET ET DE CAUCHY 641
cTindices 3,, g„ ... Pp el dans les {n — p) lignes d'indices différents de a,, «j, ... Xp sont nuls, le déterminant A est égal à
D désignant le' détei^minant des éléments situés dans les colonnes 3|, P, ... Pp et les lignes a, a, ... t.^ ; {ces élémeyits étant
pris dans le même ordre que dans le déterminant A) ; D' représente le déterminant mineur complémentaire de D, c'est-à dire celui qu'on forme en supprimant^ dans A, les lignes et les colonnes oii sont situés les élètnents de D. En effet, supposons :
». <^, <...<^p, et 3, <?,<... <fip-
Par des permutations successives de lignes et de colonnes consécutives, amenons les lignes a., a, ... «p à être les p prenaières et, pareillement, les colonnes iï,, g„ ... 3p, à être les p premières. Pour amener la ligne «« à la première place, il faudra effectuer (a, — i) échanges de deux lignes consécutives ; pour amener la ligne a, à la deuxième place, il faudra faire (a, — a) échanges, et ainsi de suite. Enfin pour amener la ligne Op à la première place, il faudra faire («p —p) échanges. On a ainsi multiplié le déterminant A par
De même, en amenant les p colonnes considérées aux p premières places, on multiplie le déterminant par :
Soit A' le nouveau déterminant, on a, d'après cela,
OU
A' — A(— ,\«l+«i+-+«p+Pl + P2+-- +Pp.
BIdis nous avons vu (§ 5), que Ton avait A' = DD', on a donc,
If. Motations. Soit :
Nous désignerons par A r'g^**'g^< le déterminant mineur
d*opdre (n— p), déduit d'un déterminant A, d'ordre «, en supprimant les lignes et colonnes qui ont pour indices a, a, ... 2^
et P,3t .. . Pp; et par D /«*«*.*..« j le déterminant complémentaire,
celui qui est formé des éléments de A pris successivemenl dans les lignes 7^, a, ... ap et les colonnes ^,, @t *•• 3p-
