Théorème. Un' déterminant A d*ordre n, a pour valeur

en supposant que PhP,, ... ^j, soient invariableSy et rangés par ordre croissant, et qu'ion prenne pour a,, a, ... Op toutes les combinaisons^ pà p, des nombres 1, 2^ 3 ... «, ces nombres étant disposés, dans chaque combinaisonypar ordre croissant. En effet, réunissons tous les termes de A qui contiennent j) éléments appartenant aux colonnes ^,, 0,, ... ^p, et aui lignes «19 «i,...âip; et désignons leur somme par A^.Nous

avons donc A =: A, -|- K ; en appelant 11, la somme des autres termes. Cela étant, annulons tous les éléments situés dans les colonnes ^,, |3, ... 0p; et dans les lignes autres que ^M ^1 ••• ^p' Chaque terme deR contenant au moins un de ces

THÉORÈME DE BINET ET DE CAUCHY

éléments sera nul ; A, qui n'en conlient aucun ne sera pas modifié. Quant à A, il devient égal à

et ce produit représente la valeur de A^. 11 résulte de là que chaque produit donne un certain nombre de termes de A. Observons, en outre, que si l'on change la valeur des indices (x^, a, ... Op, les indices descolonnes, restant fixes, tous les termes du produit changent; le théorème sera donc établi, quand on aura prouvé que le nombre total des termes de tous ces produits de déterminants est égal au nombre des

termes de A, c^est-à-dire égala 1.2.3 n. Or, dans chaque

produit, il y a 1 . 2 ... p 1 . 2 ... (« — p) termes ; le nombre des

produits est Cî ir '—^ — '-^ — ; r . Le nombre total

des termes contenus dans la somme des produits est donc Cp(» — p)! ; ou ni

9. Corollaire. U)i déterminant est nul quand les éléments appartenant à p colonnes et à [n — p -f- k) lignes sont nids ; car on peut décomposer le déterminant en une somme de produits de déterminants d'ordre (n — p) et d'ordre p. Ces déterminants étant tous nuls, comme ayant k lignes, au moins, composées d'éléments nuls.

MO. Exemples.

o/>g o o o 1 jogo 00 \.pq aqoo ip p o o o i

op ^qo

pqo ipq 0 0 1 q 0 0 ipq 0 i p

op po

pqo ipq 0 ip

q 00 ipq 0 0 1

ou:

A - — 2PÎ (/)• — g) — p' (// - wq) — 2g .pq ^pq (p' — q)

OU, enfin,

A n — p* -f- 5p'g — 5pg*.

Ce déterminant représente la somme des puissances o™«* des racines de Téquation

cf'^-px'\'q z:o.

1 1 . Théorème de Binet* et de Caiiehy. Soient deux systèmes de np éléments disposés sur n lignes et p colonnes, dans les tableaux rectangulaires suivants :

a\ a\ ... aÇ

al al ... aj

al al ... flj

b\ fef ... 6Ç b[ b\ ... 6$

Désignotis par G^ ^la somme des produits obtenus en multipliant les éléments de la ligne dHndice a dans le système (U), par les éléments homologues de la ligne dHndice ^, dans le système

et considérons le déterminant :

. Cj .^

Co-

1*» Si Von suppose p < n ; o/i a P rz o. a« *Vêp = n; /e5 systèmes (U) e^ (V) formant deux déterminants A e/ U, qui vérifient Végalité AB r= P.

THÉORÈME DE BINET ET DE CAUCHY

3® Enfin si l'on a p>n; P est la somme des produits des déterminants formés en prenant n verticales quelconques du système (U), et les n verticales homologues du système (V).

(Ce théorème a été démontré, en même temps, par Binet et parCauchy.)

Considérons le déterminant A, d'ordre (n-hp),

ûir

aï

Ajoutons à la première colonne, les p dernières colonnes naultipliées, respectivement, par a], aj, ... a? ; à la deuxième, les p dernières multipliées, respectivement, par ai, a2...aÇ; etc ... ; et ainsi de suite jusqu'à la w"« colonne, à laquelle on ajoute les éléments des/? dernières, multipliées par a,„ a„ . . . a^.

Le déterminant n'est pas altéré et il prend la forme :

... Cj „ ...

NOTEC

La valeur de A est donc :

-\--/ ,y + 2+... + fi-ffp + l)...+(p+n)p

d'où,

ou,

A ir (— 4) «+2 + ...4-ii+(p+l)+(p+î)4-... + (p4-«) p / vp^

Distinguons, maintenant, différents cas.

!• Soitp <n. Sous la forme (i) on reconnaît que le déterminant A est identiquement nul, on a donc aussi P = o. 2*» Soit n =p. Dans ce cas, on a

ou.

A = (-!)*"(«- *)aB,