Démontrer que si l'on pose

et

on a

Vp+i— î/Vp-t-C^,V;,i-yCJlVp î-f-C^iV;^i -yC*V,*+ ... 30. On ponrra établir cette identité en considérant les développements de

(^ + ^r'' et de (x-i-iy.

TBIAKGLE ABITHMÉTIQUB DE PASOAL. — PILES DE B0ULET8.

^ft3. Imaginons le tableau suivant:

{a + 6)0 {a + by (a + bY [a + by [a -h by

p! ni çp-l

Ce tableau a été formé en écrivant dans la ligne de rang (p-hi), les coefficients du développement de la puissance p du binôme. 11 constitue le triangle arithmétique de Pascal. Les nombres écrits dans ce triangle jouissent de propriétés diverses. Nous indiquerons seulement les plus saillantes.

4it. Première propriété. Le nombre écrit dans la ligne de rang z et dans la colonne de rang t est égal à

l . îl . . . (^ — i)

AIVUCATIONS DU BINO>IE

Ed effet, d'après la définition même du triangle de Pascal ce nombre est Cjli et Ton a bien

Remarque. Lorsque t est supérieur à z, la formule Ci n^a plus de sens ; mais on peut convenir que dans ce cas C^ = o .

SA. Denxlénie propriété* Si ton considère dans le triangle de Pascal trois nombres A.^ B, H disposés comme nous t indiquons ici y

de telle sorte que A soit écrit immédiatement à la gauche de B et H immédiatement aurdessous rf^ B, an a A + B r: H. En effet si Ton pose

on a

BnCrS

et

D'ailleurs, nous avoi.s vu que

Cjtî n Cl + Gf

Ainsi

II = A + li.

4MI« Troteléine propriété. Si Von considère deux cptonnes consécutives du triangle

Ona

U=i-HA + B + ... + K-hL.

En effet d'après la deuxième propriété on peut écrire

ajoutons et simplifions, on a

U=:i-hA-+-B+...-f-K-hL.

Remarque. Les nombres du triangle de Pascal situés dans une même colonne se présentent dans certaines questions d'analyse. On les a nommés nombres figurés. Les nombres figurés delà troisième colonne sonilesnombres triangulaires; ceux de la quatrième les nombres pyramidaux.

APPUCATIONS DU BINOME . 4i