Démontrei' que Von a

t désignant le nombre des letti^s a, ^. . ■ . >. On Appliquera la remarque suivante :

ÉQUATIONS BICARRÉES. — ÉQUATIONS

QUADRATIQUES.

IMI. Avant de résoudre réquation générale du second degré à coefficients imaginaires nous rappellerons rapidement la résolution de Téquation bicarrée à coefficients réels

On sait comment, en posant x* zz y, on ramène cette résolution à celte de trois équations du second degré.

X* — y" zzo

y' eiy'' étant les racines de Téquation (1). Mais on peut aussi effectuer cette résolution directement, et trouver immédiatement les racines sous la forme {a-hbi), en s'appuya nt sur le théorème suivant.

i&9. Théorème. Le trinôme bicarré l\

peut toujours être décomposé en deux facteurs réels du second degré.

Nous distinguerons deux cas suivant que la quantité /,

tizV — ac

est positive ou négative.

Premier cas {t > o). On a

aV.siiax'-^by — t ou

la décomposition est donc effectuée.

Deuxième cas [t < o). On a

ail s (a*x* + ac) -h ^abx* ou

aU ^ (aaf -f- V^)* — aa {\/ac — b)x*.

Il faut remarquer que Thypothèse fe* — ac < o entraîne nécessairement la condition ac < o : on voit aussi que le coefficient yâc—b est positif. Ceci est évidemment vrai quand on suppose 6 < o, le radical étant pris, expressément, avec le signe + > quand b est positif, Tinégalité b* < ac donne

b < y/ôc. On peut d'ailleurs supposer a > o ; car si l'on avait a < o on décomposerait le trinôme (•— U). Ainsi aU, est mis sous la forme d'une différence de deux carrés, et Ton a finalement

alJsrj ax*-hx\2a(\^ — b)-h\^ } { ax* — x\iiia(s^ — 6) + >/âc }•

Dans la pratique on voit que, pour effectuer la décomposition du trinôme bicarré en facteurs réels du second degré, on associe le premier et le second terme dans le cas où Ton a / > o ; au contraire, le premier et le troisième terme, quand on suppose^ <o.

Exemplt^s {Premier cas). Décomposer

On a

ÉQUATIONS QUADRATIQUES 155

(Deuxième cas). Décomposer

On écrira

U zz (x* -f- 2)* — 4a?*

i&8. RéSM»lution de réquation du se€N»nd degré A enefBeieote haÊm§finmirea.

Nous abordons maintenant Tétude de Téquation

(1 ) {a + a'i)af + (b-h b'i)x + (c -^ c'i) zz o.

En multipliant les deux membres par ^^, cette équa-

tion prend la forme

que nous allons considérer uniquement.

Soit y+zi une racine de cette équation : on doil avoir

(y -f- zif -+-(/> + /> '*) v2/ -I- ^0 + ^ -+- î'* = "

ou, après calcul,

(3) y" — z* -i^py —pz + 9' = o (4) î/5 4--y-4--z+^=:o.

Telles sont les deux équations qu'il s*agil de résoudre. Il se présente ici, à propos de cette résolution, une légère difficulté qui tient à ce que la mélbode ordinaire, celle qui consiste à tirer z de la seconde équation pour en porter la valeur dans la première, conduit à une équation complète du quatrième degré. On évite cette complication en dirigeant le calcul comme nous allons, l'indiquer.

i53 TREIZIÈME LEÇON

Les équations (3) et (4) peuvent s'écrire

On est ainsi conduit a poser

les équations deviennent

La méthode de substitution conduit alors à une équation bicarrée. Mais il est plus simple de remarquer que l'on déduit de CCS deux équations, par combinaison,

On a donc, finalement, pour Y et pour Z deux valeurs

) Y = ±Jh-hs-h' + iJi''

(6) Z=:dzJ^h-\-\/r-hW

Ces valeurs de Y et de Z sont réelles parce que Ton a toujours

Si h' est positif on prendra le même signe pour Y et Z ; si A' est négatif on choisira des signes contraires, de façon à satisfaire toujours à la condilion YZ = h'. Désignons par Y, Tune des valeurs de Y, donnée par (5) ; à Y, correspond une valeur Z, donnée par(6\ etune seule. D.» même àla valeur— Y,, cor-

ÉQUATIONS QUADRATIQUES 157

respond la seule valeur (— Z,), et Ton a, finalement, pour les racines de Téquation proposée deux valeurs,

150. Racine earrée de {a-\-bi). La racine carrée d'une expression imaginaire {a + bi) est, par définition, une expression imagiuaire(y + ^0» vérifiant Tégalité

Le problème que nous allons résoudre peut donc être considéré comme un cas particulier du précédent; savoir, le cas où Ton propose de résoudre Téquation

X* — a — biii o.

L'égalité (7) donne

'lyz — b.

On retrouve ainsi les équations du paragraphe précédent Le même calcul donne

et l'on trouve, comme tout à l'heure,

, = ± V^:zfiiLvZ±î:.

Il y a deux valeurs réelles de y, et aussi deux valeurs réelles pour z. Mais à la valeur y^ ne correspond pour z qu'une seule valeur z,, le produit y^ z^ devant avoir un signe bien déterminé, celui de b. D'ailleurs à la valeur (— j/J, correspond aussi la

seule valeur {— z^). La racine carrée de Texpression imaginaire a donc deux valeurs :

Comme la âomme Xt + x^ est identique à zéro, on peut dire, pour rappeler ce fait, que les deux expressions imaginaires de la racine carrée de a -4- bi sont égales et de signes contraires.

IBO. Théorème. Une équation bicarrée admet quatre racines de la forme [a -f- 6i)> lesquelles sont deux à deux égales et de signes contraires.

L^équation considérée étant

ax* + ibx^ -i-cizo^

si Ton pose, comme on le fait habituellement, a;' = ^ Féqua* lion

ay* -h «ôy + c n 0

admet deux racines a'-f-6'*, a'^-hb^i; c'est ce que nous venons de démontrer. D'ailleurs on détermine x par les deux équations

Or on a vu, au paragraphe précédent, que chacune de ces équations admettait deux solutions égales et de signes contraires.

Le théorème en qiieslion se trouve ainsi établi.

1 Gf . Discussion de TÉquation bicarrée. Certains pro* blêmes, et notamment, comme nous le verrons dans la géométrie analytique, la construction des courbes, donnent lieu, assez fréquemment, à des discussions portant sur une équation bicarrée U ^ o

L' =: ax* -h abx' -f- c* Nous supposerons a> o; ceci est toujours possible. Ou

ÉQUATIONS QUADRATIQUES , 159

pourra, dans Tétude de cette équation, suivre la marche que nous allons indiquer. Ayant calculé la quantité /,

on distinguera trois cas suivant que Ton supposera / < u, < — o et /> o i. Soit t <o. L'identité

prouve qu'aucun nombre réel ne peut satisfaire à Téquation U = 0; les qnatre racines sont imaginaires.