Soit enfin t > o. L'équation

«y* 4" ^by-hczz o

obtenue en posant o;* zr y, a ses racines réelles ; soient y\ y"

ces racines. Si c est négatif, comme Ton a y Y' zz -, Tun des

nombres y' ou y" est positif, l'autre est négatif. L'équation bicarrée a deux racines réelles; les deux autres sont imaginaires. Si Ton suppose c positif, alors les racines y', y^ sont de même signe: elles sont positives si l'ona 6<o; négatives, au contraire, si Ton suppose 6 > o. Dans la première hypothèse les quatre racines sont réelles ; elles sont imaginaires dans Tautre cas.

On remarquera que si Ton suppose c < » il y a nécessairement deux racines réelles; les deux autres étant imagi* naireSé

Le tableau suivant résume cette discussion : Équation bicarrée. — {Discussion),

ax^ -h ^bx* -h c — o a > o inb* — ac

C < o Deux racines réelles, les deux aulres imagioaircs.

C n: o ) ^ ^ <* Les deux autres racines sont réelles.

/ >o ( ">«"» '•^<^'"" """<^« 1 * > 0 Les deux autres racines sont imaginaires.

( fe < G Les quatre racines sont réelles. C > o l

{ u'^ o Les quatre racines sont imaginaires . 6 < o Quatre racines réelles deux à deux coïncidentes.

t no { fe — o Quatre racines nulles.

6^0 Quatre racines imaginairen.

^<C^ { Quatre racines imaginaires.

Equations quadratiques

IG^. Lorsqu'une équation, d*un degré supérieure à a, peut se résoudre par la considération d*équalions dont le degré est égal à 1, ou à 2, on dit que Téquation proposée est quadratique. Si à cette équation correspond un problème de géométrie, on pourra dire aussi que ce problème est quadratique. Nous verrons, en géométrie analytique, qu'un pareil problème jouit de cette propriété remarquable de pouvoir être résolu par la règle et le compas.

Les équations bicarrées, qui viennent de nous occuper, donnent un premier exemple d'équations quadratiques. Les équations réciproques du quatrième degré, dont nous allons maintenant parler, en fournissent un second exemple.

1G3. Équations réciproques du quatrième degré» Nous nommerons, en généralisant un peu la définition donnée ordinairement, équations réciproques du quatrième degt^é celles qui jouissent de cette propriété que si {{x) rz o désigne une pareille équation, X ^^k étant des nombres déterminés, indépendants de Xy on a identiquement

fix)^^^f{^).

ÉQUATIONS QUADRATIQUES l«i

Il résulle de cette définition que l'équation /* (a;) = o ne peut admettre la racine x' sans admettre nécessairement la racine

-7. En effet si f{x')z=.o, onaXic'v(— ) ==<>> ou / f—j n 0.

Ainsi les racines peuvent se grouper deux à deux de telle façon que le produit de ces deux nombres soit, pour Fun et l'autre groupe j égala k. Nous reviendrons plus tard sur les équations réciproques de degré quelconque. Nous nous bornerons pour le moment au cas parliculier des équalions du quatrième degré.

[9]. Théorème. L équation réciproque du quatrième degré est de la forme :

(A) ax^ -f- ba^ -H ex* -h bkx H- a/c* 1= o .

En effet Tidentité

^ I I. • . • . j . - 4/û/f* bk* ck^ dh , \ ax*+bx*+cx*-+-dx-+-es:Kx'' —-h — --4-— -h -^e]

donne

(1) az=i\e

(2) bzzXdk

(3) c-VCc

(4) d=i\bk'

(5) e rz Xakr

Soit d'abord c?do; légalité (3) donne XA*i=i. On a, par suile

dzzbky e rr a*'.

Les égalités (1) et (i) sont d'ailleurs vérifiées par ces valeurs.

Soit maintenant c =: o ; comme on suppose a différent de zéro on a donc Xc ;zf o et, par suite, e^zfo. Les égalités (1) et (5) donnent, par combinaison,

c'est à dire,

XA' — 1 ou >Jc' — - 1 .

Dans la première hypothèse on retombe sur le cas précédent et sur réquation (A). Il faut seulement signaler cette particularité que celle-ci ne renferme pas de terme du milieu. Mais si Ton prend la solution X*' zz — i on trouve

L'équation proposée devient alors

ax* + bic^ — bkx —ak* zzo

ou

(ic* — k) {aaf -hbx-hak)zzo.

Elle se décompose donc en deux équations du second degré.

En résumé, il n'y a qu'tin seul genre d équations réciproques du quatrième degré, équations dont la forme est celle qu'indique l'égalité (A).

1G4. Théorème II. Pour que F équation générale du quatrième degré •

(B) Ax'-hBx^+Cx^ + Dx-hE^io

soit réciproque (sens général) ; il est nécessaire et suffisant que Fon ait

En effets si Ton identifie (B), avec (A), on a

DnBK et K'AmE.

En éliminant K, il vient

SoitB=io, on a D*A=:o et comme Ton suppose A^o, et D = 0, on retombe sur l'équation bicarrée qui peut être con- ; sidérée comme un cas particulier des équations réciproques du quatrième degré. Enfin si Ton suppose B;zl o^ on a bien

ÉQUATIONS QUADRATIQUES «63

imi». Théorème m. On peut toujours amener V équation

réciproque du quatrième degré à la forme :

En effet» supposons B ^ o : la forme trouvée ci-dessus est

Aa?* -h Baf -h (V -h Da; 4- -T-r = o.

Changeons d'inconnue et soit a; = rr^X ; il vient

A* A> kC