Établir la diâcussion suivante

Soit r équation réciproque (sens général) ;

En supposant

Aa:^ -h Ba;' -f- Cx* -f- Da: -f- F zi o

(0 p = j^ et B;zfo

tt en posatit

U s B (B' - 4ABC 4- 8A'D Vs(BC-f-2AD)*-.ÎB'D WsB(B'— 2AG — 4A*D)

Oïl propose de démontrer les résultats suivants.

f^r ^ l Deux racine» réellcfl,

\ les denx autres imaginaires.

. l W > o Quatre racines réelles .

t^>oc fW<o Quatre racines imaginaires.

/ W <C <» Quatre racines réelles, mais deux coïncidentes. Vz: 01 W<a Deux racines réelles égales, les deux antres

imaginaires et inégales.

U <C 0 Les quatre racines sont imaginaires.

B (B' — iOA'D) > G Quatre racines réelles, deux à deux coïncidentes .

Quatre racines imaginaires, deux & deux coïncidentes.

B (B* — i6A'D) zz « Quatre racines réelles et égales.

'B(B'— i6A'D)>o Uzzo(B(B'— i6A*D)<o

S. On conâidèrf Véquatinn

X^ + QX^ + r J7 -f * — "

et aprèt avoir posé x = y -f- h on demande de déterminer h de façon que C équation en y soit réciproque (dans le sens général donné À ce mot).

(Todhunter.) L'équation en y est :

81 on applique, à cette équation, la condition (i), on trouve :

8AV-I- 4A* (4^ — ?•) — ihqr — r^zzo

On peut ainsi ramener la résolution de Téquation du quatrième degré k celle d*une équation du troisième degré et de deux équations du second degré.

S. Résoudre l'équation U =o,

Usiix-hp) (a:-hpH- i) (a-'+P + a) (a: -4-p-h 3) ^ (x + g) {x-hq'hi)(x-hq-h^){x + q + 3).

On sait que Ton a

(x 4- a) (a: + a -h 1 ) (rr -h a -h a) (a? -h a H- 3) •+ i s [(x -f «)• 4- 3(0? + ») + iT,

en appliquant cette formule, U se décompose en deux facteurs, dont Tun est du premier degré et donne la racine Xt ,

On examinera ensuite Téquatlon du second degré

2j?*-f-2ic(/) + ^+3)+p*H-/4-3p4-3^ -ha =«

qui donne les deux autres racines.

Le cas particulier où p — 9 = 1; celui où p — ^ :^ 2, donnent des nombres commensurables ; et si p et 9 désignent des nombres entiers différents, il n*y a pas de racines réelles, en dehors de ces denx cas.