Exemple. On propose de résoudre t équation
On vérifie d'abord que celte équation est réciproque. On a en effet,
D'Azzlô'Xa
ÉQUATIONS QUADRATIQUES 165
el, par conséquent,
Cette remarque ihite, écrivons Téquation donnée sous la forme
SI nous posons
nous obtenons
On tire de cette équation les racines y\ y'\
y'zzi y'=zl
Les valeurs de x sont alors données par les deux équations
X* — ir -f- 3 rr o
On trouve finalement
IBO. Résolution directe de l*éqaatioii réciproque.
On peut éviter, pour la résolution de l'équation réciproque, remploi d'une inconnue auxiliaire et décomposer immédiatement le premier membre en deux facteurs réels ou imaginaires du second degré, comme nous allons le montrer. Soit
D*A ^ = Ax* -h Bx' -4- Cx* -h Do- -4- —j- —o
jj
Téquation proposée. En posant
rr:B(B'-4ABC + 8A'D)
166 TREIZIÈMB LEÇON
on a
/. , , Rr DA\* ,. a-'
Si U est positif, la décomposition en deux facteurs réels du second degré est une conséquence immédiate de cette identité. Si U est égal à zéro, 9 est un carré parfait. Enfin, si U est négatif on voit que 9 ii*a que des racines imaginaires. L'identité précédente permet, dans tous les cas, de résoudre directement réquation réciproque.
lVO« DéiNMDposlÉion de Inéquation réeiproqiie en ûmuiL fttcÉeurs réels du seeond degré. En terminant cette étude de réquation réciproque du quatrième degré, nous ferons voir qu'on peut toujours décomposer cette équation en deux facteurs réels du second degré. Nous verrons ultérieurement, et d'une façon générale, pourquoi cette décomposition est possible ; nous voulons seulement montrer ici comment elle peut être faite sur l'équation que nous étudions. Conformément à une idée que nous développerons plus tard, en exposant la résolution de l'équation générale du quatrième degré, écrivons l'équation donnée fzz o, en supposant
sous la forme
Disposons maintenant du paramètre X au moyen de l'éga • lité suivante :
(I) (X~Y)«zi4(V--Y*)(.aX-P-h^).
On aura
ou
/•sP-^Q*,
ÉQUATIONS QUADRATIQUES 167
suivant le signe du coefficient | aaX — p + ^ V On aperçoit d'abord la racine X zz y et celte racine conduità la solution du paragraphe précédent. Mais on peut aussi déterminer X par Téquation du second degré.
(a) 2«X* + X(2(rr — 0)-+-- (i — ag) - o.
Si X = Y n'a pas donné la décomposition cherchée, en deux facteurs réels du second degré, on peut être certain que Tune des racines de l'équation (a) permettra de mettre ^ sous cette forme algébrique.
En effet, Téquation (i) après suppression de la racine ^ s'écrit :
4(X-hT)(îiaX-^P-4-l)-(X-Y) = «-
Or si Ton suppose ««y — 3 + - < o, en substituant dans cette
égalité X zz ^,el i », on a des résultats de signes contrai-
aa
res. Il y a donc une racine plus grande que , et une au-
aa
Ire plus petite que . Suivant le signe de a, l'une ou l'autre
as
t de ces racines rendra positif aaX — g 4-7.
IVl. Méthode pour reconnaître qn^ane équation
ionnée est quadratique. Nous voulons faire connaître ici un procédé élémentaire, souvent commode, pour décomposer le premier membre d'une équation quadratique. Ce procédé consiste à considérer particulièrement un paramètre a de l'équation donnée, lorsque ce paramètre entre dans celle-ci au second degré.
L^équation proposée peut dansce cas semettre sousla forme,
PJt'-i-Oa-f-il-o,
S*il arrive que la fonction Q* — 4PR soit le cafré parfait d'une fonction rationnelle 9 ; si Ton suppose que Ton ail
on pourra former Tidentité suivante
La résolution proposée est ainsi ramenée à celle des deux équations rationnelles
aPa 4- 0 + ? ^^ ** îîPa -f- Q — 9 zz o
qui sont, en général, d*un degré plus faible que celui de réquation donnée.
Nous allons montrer, sur un exemple, une application de cette idée. On remarquera que la méthode précédente s'applique aussi aux équations bicarrées en a et, généralement, à toutes les équations résolubles rationnellement par rapport à un paramètre.
IVfB. Application. Réaoxidre et discutei^ V équation 9 = 0,
9 =: S' — (4m« -1-3) S*-f. im*(m'4- 2) S - f (m* — t) (•)
Le premier membre de celte équation peut être considéré comme un trinôme bicarré en w, et on peut récrire
Si Ton cherche à résoudre celle équation par rapport à m* on trouve, pour la quantité soumise au radical,
4[S"(2-S)'-(S-i)(S*-^3S* + 4)]=:4(S-ti)V 1. On rencontre coUe équalion lorsque Ton discute la s^urface
{École Polyterhntguef 1858.)
La méthode s'applique donc à l'exemple proposé ; on trouve finalement
^s (S — aw'- 2) [S'- (i + aw*) S+ 2(m"- i)]. On discute alors, sans difficulté, l'équation donnée.
