OM.OM'^V
ce
arcMM'\OA(»)
arcMMVV MM' /uH
\y\ OH représente la perpendiculaire abaissée du centre sur la corde MM'.
296 \1N(iT ET UNIÈME LEÇON
, , arc.MM'OA .
Si Ton passe a la liinile, les rapports »t77j ont pour
ce
limite runilé.On obtient donc, pour la limite du rapport — ^^,,
c'est-à-dire, pour la dérivée cherchée, la valeur OCV On a donc, finalement,
y' -^ sec* X iz — r— •
COS X
9HO. Hérivée des fonctions sec a?, cosec x, cotg x. Ces fonctions se rencontrent rarement, parce qu'elles sont respectivement égales aux inverses du cosinus, du sinus et de la tangente, et qu'elles peuvent toujours, d'après cette remarque, être éliminées d'un calcul. Leurs dérivées sont données parles formules suivantes.
sinx
u zz sec x
u'zz — — vos X
V zz cosec X
COS X
sin*a?
w»zr cotga;
si no?
On obtient ces résultats par la méthode directe, ou par Tapplicalion de la règle que nous avons donnée pour prendre la dérivée d'une fraction. On peut aussi employer la méthode géométrique, méthode dont nous avons donné tout à Theure un exemple et qui s'applique, très simplement, à toutes les fonctions trigonomélriques.
!981. Ponctions Inverses. Désignons symboliquement par f et F, deux opérations bien définies^ que Ton peut taire avec un nombre donné. Alors /* [F (x)] représente aussi une opération bien déterminée et qui peut être analysée ainsi : l' avec le nombre donné x effectuer Topera tion, désignée par le symbole F ; a** avec le nombre ainsi obtenu F (x), effectuer l'opération qui correspond au symbole f. Ceci posé, nous dirons
que /* el F sont les symboles de deux fonctions inverses, lorsque Ton a
m) a:=:/-[FC.r)].
Cette définition ne distingue pas quelle est celle des deux opérations /, F, par laquelle on doit débuter pour reconnaître Tidentité précédente. Il est facile^ en effet, de reconnaître que ridenlilé (i) entraîne aussi la suivante
(a) xz^?[f{x)\.
Posons» ^n effet,
L'identité (i) donne
•^ - fy) etrégalité(i) devient
y=nmi
Cette égalité qui a lieu, non pour des valeurs particulières de y, mais quel que soit y^ est une identité. Il est donc indifférent de permuter Tordre des opérations f et F.
On peut encore imaginer les fondions inverses de la manière suivante. Soit
une équation à deux inconnues. Supposons que Ton puisse résoudre cette équation, successivement, par ripport à a; et par rapport à j^; de telle sorte que chacune des équations
soit équivalente à la proposée: on dit alors que felt sont les symboles de deux fonctions inverses. En effet, dans (B), donnons à y une valeur arbitraire y ; il en résulte pour a; une valeurs/. L'équation (B) étant équivalente à (A), les valeurs ^,y\ que nous venons de trouver, vérifient donc (A). D'autre
part réquation (C) étant équivalente à (A) : xf.y' satisfont aussi à cette équation et Ton a
ou
Mais y' est arbitraire ; cette égalité est donc une identité et les deux définitions rentrent Tune dans l'autre.
989. Théorème des fonctions inverses. Si Von désigne par f et ¥ y les symboles de deux fonctions inverses^ de telle sorte que les deux équations
soient équivalentes, on a
r{y)¥'{x)=zi.
Soit donné, dans (C), à x un accroissement Ax, on aura pour y un accroissement Ay ; les nombres x -f- Ax, y + Ay constituent une solution de (C), par conséquent une solution de (B). Si, dans (B), on remplace y par y-h^y (Ay représentant, bien entendu, la valeur dont il vient d'être question), on obtient pour X une valeur correspondante. Cette valeur est unique, si f désigne, comme on le suppose, une opération bien déterminée ; et cette valeur unique ne peut être que X + Aa;, puisque y -h Ay, x + Aa? ; constituent une solution de (B).
Le théorème en question devient alors évident. D'après réquation (B) la dérivée de x par rapport à y est égale à la
Aic
limite du quotient — ; d'après Téquation (C) la dérivée de y,
par rapport à x, est égale à la limite du quotient obtenu en prenant le rapport entre l'accroissement de y qui correspond à l'accroissement de x, quand celui-ci tend vers zéro. Ce
deuxième quotient est —^ : Ay et ^x ayant des valeurs égales
à celles qu'on vient de considérer.
On a d'ailleurs
On a donc, à la limite,
1983. Délivrées des fonctions inverses trif^nomé- Mqnes. DeTéquation
(i) mzsiny on tire
(i) ymarcsina?,
relation qui exprime que y est Varc dont le sintis est égal à x. Les deux fonctions qui correspondent aux signes symboliques siuy et arc sin sont des fonctions inverses. Il faut pourtant ajouter que si Ton veut que la fonction y qui correspond au symbole arc sin soit bien déterminée, on doit convenir que y représente le plus petit arc positif qui corresponde au sinus donné.
Si Ton veut trouver la dérivée de y par rapport à a?, il suffit, d'après le théorème précédent, de prendre la dérivée de x par rapport à y, et de calculer l'inverse de ce rapport. On a donc, d'après cela
cosy d'ailleurs l'équation (i) donne
cos y =3 Jh v^ — X' ;
±v/i -rr*
L'ambiguïté du signe disparait si Ton suppose le sinus donné en grandeur et en st^ne.Supposons, par exemple, ar>o; le plus petit arc qui correspond à ce sinus est compris
entre o et ~ ;
on a donc
cos y ZJ. -j-y/i — x'
et , par conséquent,
Au contraire, si Ton suppose œ<,o, le plus petit arc qui corresponde à ce sinus a son extrémité dans le troisième quadrant ; cos y est négatif, la dérivée y' est donnée parla formule
On trouve, par les mêmes considérations^ les dérivées des autres fonctions trigonométriques inverses.
984. Dérivée de v'x. Parmi les applications, que Ton peut faire, du théorème des fonctions inverses, nous signalerons encore la suivante. Soit
Cette relation peut s'écrire
xzny'.
Celle-ci donne x' zz 2y ; on a donc
OU, enfin
yjx
Mais avant de poursuivre Tétude des fonctions dérivées nous résumerons, dans le tableau suivant, les résulals obtenus dans cette leçon.
98&. Tableau des dérivées des ffonetions
élémentaires .
