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LES DÉRIVÉES (Suite).

TIléORÈUES GÉNÉRAUX.

986. Fonctions de fonctions- Lorsqu'une variable y dépend d'une variable w, qui est, ulle-môine, fonction de la variable indcpendanle x, on dit que y est une fonction de fonction d>.

981. Théorème. Pour calculer la dérivée (Tune fonction de fonction^ on prend la dérivée de celte fonction, par rapport à n, et on multiplie ce résultat par la dérivée de w, par rapport à X.

Les quantités ^x, Aw, Ay ayant leur signification ordinaire, ridentilé

prouve qu*on a, à la limite,

988. Dériirées partielles. Nous devons dire ici quelle est la signification de Tindice qui accompagne quelquefois la leUre y\

Lorsqu'une fonction y renferme plusieurs lettres, a, ^, v..., si Ton considère Tune d'elles a, comme étant une variable indépendante, y devient une fonction de a. La dérivée de cette fonction est représentée par y^. On évite ainsi toute confusion et Ton marque, par celte notation, que la lettre a est prise pour variable indépendante, les autres lettres étant cotuidérées comme des constantes.

Il peut arriver que les autres lettres 6, y? .-. soient aussi, à leur tour, considérées comme des variables indépendantes ; y g, y' .. représentent alors les dérivées de y prises, successivement, par rapport aux lettres è, y, .... Ces fonctions U\,y'^9 ... sont nommées dérivées partielles de la fonction

y. Ainsi l'indice qui accompagne les lettres y\ u', ... signifie que la dérivée des fonctions y, u, .». a été prise par rapport à la lettre qui est placée en indice, toutes les autres lettres étant considérées comme des constantes.

089. Applications du Utéoréme des fonctions de fonctions. Le théorème des fonctions de fondions est d'un usage continuel dans le calcul des dérivées. Nous allons montrer, sur divers exemples, comment on applique ce théorème.

i« Soit à prendre la dérivée de la fonction

u désignant tme fonction quelconque de x. On a (^ -iSi)

par suite,

2° Soit

yzzh[x-\-\/\'\'X*)'

Posons

on a