f-cosa::='2COS

Mais il faut, à ce propos, démontrer le principe général que nous venons d'énoncer ; cette démonstration fait l'objet du paragraphe suivant.

5SOO« Théorème. Lorsque la dérivée dune fonction est constamment nulle, celte fonction est une quantité invariable. La définition de la dérivée donne Tidentilé

(A) f(x-h/i)-f{x):^/i[r{ji')-\-t\

t désignant une fonction de x et de h qui s'annule avec h. On a, en effet,

fj, =. hm ■ — - — ^--— , pour /* — o.

Cette remarque étant faite, considérons deux valeurs quel conques de x, uo et a?, ; supposons x^^x^ et soit

(H) X, — Xozznh

n étant un nombre positif, entier, arbitraire. La fonction f [x] étant constamment nulle, la formule (A) donne successivement

f{x,-hh)^f(Xo:=:/u, f{x^, -h 2h) — f{x^ -h A j = //£,

f{Xo -h nh) — f[xo -f- (/A — I )/< j :h: /u„.

On déduit de ces égalités^ par combinaison^ et en rempla çant xo -h nhj par a*,,

Désignant par e la plus grande des quantités s, s^ . . . e„: on aura donc

OU, en tenant compte de (B),

ou enfin, d'après l'identité (C)

Supposons que n croisse indéSnimdnt ; h et, par suite chacune des quantités s„ e,, , . £„ tend vers zéro ; par conséquent

e qui est Tune de ces quantités tend, lui aussi, vers zéro. La relation (D) prouve que les deux nombres fixes /*{a;,),/'(a;^);

ont une différence aussi petite que Ton veut; mais alors cette différence est nulle ; ainsi /(a?) est une quantité invariable.

991. Du théorème précédent on peut déduire différents corollaires et notamment celui que nous avons énoncé plus haut : Si deux fonctions ont la même dérivée, leur différence est identique à une constante.

En effet si Ton désigne par y et Y les deux fonctions et si Ton suppose que Ton ait

comme (y — Y) est une fonction de x d«int la dérivée {y' — Y') est nulle, quel que soit x, celte dérivée esl, d'après le théorème précédent, une quantité constante. En désignant cette constante par kj on peut donc dire que Ton a

y-YsA.

On peut généraliser cette remarque en observant que si, entre des constantes a, 3 et les dérivées y', Y' existe la condition

on a, entre y et Y, la relation

\, Théorème. Quand la dérivée d'une fonction est positive pour xzzx' ; la fonction est croissante pour x^ix' ; elle est au contraire décroissante^ quand la dérivée est négative. L'identité

(i) f{x+h)--f{x):szh\f^{x)^i\

reconnue plus haut, prouve immédiatement cette piopriété, Tune des plus importantes de Talgèbre. Dans la relation (i) faisons x:=zx'\ la quantité f'[x')-\' e se compose de deux parties, Tune /*'(ir'), fixe et que nous supposerons positive, pour fixer les idées ; Tautre g qui varie avec A, et qui est aussi petite que Ton veut. Dans ces conditions, pour des valeurs de A, positives et suffisamment petites, la quantité/*' (a') + s est positive. Le second membre de Tégalité

(2) nx' + A) - f[x') - h ir (X') -h s]

est donc positif et ceci prouve que f{x' -hh) est supérieur à f{x'). On verrait de même que f{x^ —h) est inférieur à f{x'). En résumé la fonction est croissante pour a? =r x',

998. Théorème. Lorsqu'une fonction est ci*oissante, pour XZZ.X' \ sa dérivée est positive ou nulle j pour x :=i x' ;la dé^ rivée est, au contraire, négative ou nulle, si la fonction est décroissante.

Supposons, par exemple, la fonction croissante. So\\.f[x'+h) >f[x') ; h étant positif. Le raisonnement que nous avons fait toutàTheure prouveque régnlilé (a) ne peut avoir lieu en même temps que l'inégalité /"' (x') < o. Par suite, la dérivée doit être, ou nulle, ou positive.

994* Théorème. Entre deux racines réelles, consécutives, de Véquation f(x) zz o, il existe au moins une racine de V équation f*{x) zz o.

Soient a et 3 les deux racines considérées, a étant plus petit que 3. Lorsque 0? varie de a à 3, f{x) va d'abord en croissant,

.liO

VINGT-DEUXTÈME LEÇON

puis en décroissant; ou inversement. Prenons la première liypothèse, pour fixer nos idées. La dérivée f {x) est donc d'abord positive, ou nulle ; mais elle ne peut pas être constamment nulle (§ 290) ; elle est donc positive après le passage de la variable x par la valeur a. On voit de même qu'elle est négative avant que x ne prenne la valeur p. La fonction f (x) passant d'une valeur positive à une valeur négative est égale à zéro, pour une valeur de x comprise entre a et p (§ a5o).

Cette démonstration, comme celles qui précèdent ou qui suivront, suppose formellement que les fonctions proposées et leurs dérivées sont continues, au moins pour les valeurs de X considérées. C'est une hypothèse qui est d'ailleurs, toujours sous entendue, dans cette théorie des dérivées.

En appliquant le théorème précédent il importe donc, pour éviter de graves erreurs, de vérifier que la condition nécessaire que nous venons de rappeler, et qui est relative à la continuité, est bien remplie parla fonction proposée et par sa dérivée. Les figures ci-jointes montrent des exemples où la propriété en question est en défaut, parce que la condition de continuité n'est pas remplie, soit par la fonction, soit parla dérivée.

LES DÉRn'ÉES 31 1

Théorènie. On a identiquement , 6 désignant une fonction de x^ et de h, dont la valeur est comprise entre zéro et Punité,

(H) rix, -f- A) - f(Xo) =: hr (xo + BA). Posons

(K) r{x,^fi)-f{x.):^h.V;

V est une fonction de Xo et de h que nous nous proposons de déterminer. Soit y une fonction de x, correspondant à Téquation

y rr f{xo + ^) — f(xo) — Vx, On a donc

y' = r{^o-hx)-ll

Or la fonction y s'annule évidemment pour xzzo; et aussi, d'après Tégalité (K),pourir=A ; par suite la dérivée y' s'annule (S *94) pour une valeur de x comprise entre o et A, valeur que l'on peut représenter par OA^ en supposant que 6 est compris entre zéro et l'unité. On a donc

/^(iro4-6A) — Uno.

Cette égalité détermine U, et l'identité (k) devient

na!o + h)--f{x,)xhr{Xo-hh).

AOB. Dérivées sneeesslves. La dérivée d'une fonction f[x\ constitue elle-même une fonction qui» en général, admet une dérivée. Cette dernière fonction se nomme dérivée seconde et se désigne par la notation y" ou /* (x). La dérivée de y* est une nouvelle fonction qu'on nomme dérivée troisième et qu'on désigne par y" ou f" (^)- En général la dérivée d'ordre p, celle qui a été obtenue en prenant p fois de suite, la dérivée d'une

fonction donnée, se représente par y^^\ ou par /'^^(x).

9BV. Théorème. En désignant par 0 une fonction de x^ ft de A, dont la valeur est comprise entre zéro et l'unité, on a

(H') f[Xo'^-h)-f{x,):s:hf\x,)-^~r{x,^^h).

Nous poserons encore, à rimilation de ce que nous avons fait tout à l'heure,

(K') f {X. -H A) - {X.) :^ h r (Xo) + 7 V,

y désignant une fonction de o^o et de A, que nous nous propo* sons de déterminer.

A cet effet considérons une fonction de op, déterminée par réqualion

y::zf{x.-^x)^nx,)'-xr{xo)^^\\ On en lire

y' ^ r {xo+x) ^ r (^<)- X\

y" = r(.ro-h.T)-V.

La fonction y s'annule visiblement pour a? iz 0; elle s'annule aussi pour rc n A, d'après Tégalité (K') ; ainsi y' s'annule pour une valeur de x convenablement choisie, entre o et A. D'autre part, on peut observer que y' s'annule avec x. En résumé on peut donc dire que y' s'annule pour deux valeurs ; l'une égale à zéro, Taulre comprise entre o et A. La fonction y" dérivée de y', s'annule donc, pour une valeur de x comprise entre o et A et que Ton peut représenter par 8A, en supposant:

On a donc enfin

et la formule (IP) se trouve ainsi démontrée.

LES DÉRIVÉES 3i3

998, Théorème. On a

f{xo+h)-f[x,)r{Xo'{-^h) ? (aro -h A) — ? (oTo) 9' (Xo + OA)

fe« fonctions fel 7 e/an^ quelconqties, mais continues^ ainsi que leurs dérivées, dans T intervalle Xq^ Xo + h, Posons

nx. + h)-^r{xo):s:\\[o{x,^h)^^{x:)l

el proposons-nous de déterminer W. Considérons la fonction de 07 qui est définie par Téquation

y =/'(j7o + a-) — AXo) — W [? (Xo 4-0?) — <p(a:o)].

Nous en dédulsoni

D'ailleurs y s'annule pour a? zz 0, et pour 0? = A ; nous avons donc

r {Xo + eA) — W?' (o;^ 4- «A) :;: 0, par suite

r(a:o4-A)^A>,)^^/^"^^^|[9(o:„-hA)-9(^g];

c'est la formule que nous voulions -établir.

999. Fonctions composées. Soit y une fonction des lettres u, t?, t«?, ... ; si Ton suppose que Uy v, u», ... sont ellesmêmes des fonctions de la variable indépendante Xj on dit que y est une fonction composée.

300« Théoréme.Za dérivée dune fonction composée

y — f{u,VyW,..,)

s* obtient par la formule

y' — u'fj (w, V, to..,) 4- 1;' /; (m, v, w? ...) + ...

314 VINGT-DElîXlfiME LEÇON

Considérons le cas d'une fonction composée de deux fonctions XI et V ; soit

On a

(i) \y zz [f(H + A«, V -h Au) - f{u. n 4- Aw) J -h

Nous ferons remarquer ici que Tidenlilé

f (a?o 4- h) — f{xj) = hf {Xo -4- BA },

établie plus haut {^ 296), subsiste quand on suppose que la fonction f(x) renferme une autre lettre X, pourvu que X ait la même valeur dans f{Xo) et dans fixo-^-h). On écrira, dans ce cas, ridentité précédente sous la forme suivante

f(xo-hh, a) — f{Xo, X) =: /«/^ (Xo 4- 6^, X)

on tire de cette identité, en posant j^„ n ?/, h :z Aw, X rzi^ 4- Ar

(2) /'(M4-Aw,r4-Ar)--/*(>f.r-hAr):sAu/^(w+6A?/,r-f-At').

D'autre part, l'identité

/•(X,aT.,-f-A)-/-(X,iP.) = /i/;^(X,a;o + 0'A) donne

(3) f(u,v -+- At))--./^(w , v)z=:lv. fju,v + e'At»)

en posant

wi=X, iTorzv, Ar=Aï?

Les identités (2) et (3) permettent de transformer la relation (1), et de récrire

En passant à la limite, on a

Cette formule est générale. Si Ton avait à considérer une fonction composée de trois fonctions v, v, ?/' ; on mettrait l'accroissement ^y sous la forme

Ay z=: [f{u -h Aw, v + A», to -f- A?/») — f(u, v 4- Ap, w + A^^?)] + \f(^f> v-l- Aï), tv + iiw) — f{u, V, 2(» -h Aî^)] ( /•(?«, v. M» 4- ltv) — f(u, V, w)]

et Ton prendrait, pour base de la démonstration, l'identité

f(xo -h h, A, p) — f(x,,. X, p) = A/;^^ (a?, + OA, A,p) on trouverait ainsi

formule dans laquelle nous écrivons /^^, au lieu de /^^ (//, t\ ?/»),

pour abréger l'écriture.

801. FoneMons Implicites. Lorsque la relation qui existe entre la variable indépendante x et la variable dépendante y n'est pas une équation résolue par rapport à v et se trouve représentée symboliquement par

on dit que y est une fonction implicite de x.

BiMm Tiiéor^iiie. La dérivée y* d'une fonction impUcito définie par téqtiation

? (,r. y^ zz <»

H^ obtient par la formule

Posons xzzuy y 1= r, et considérons la fonction z

u étant égal kx^elv désignant une fonction de a;; on peut dire que z est une fonction composée, dont la dérivée z' est donnée par la formule

Mais on a constamment zzzo; la dérivée de 2 est donc aussi constamment nulle ; ainsi on a

ou,

en observant que w' zi t.

BOB. AppUemUowkSm Les théorèmes précédents sont fréquemment employés dans le calcul des dérivées. Nous allons montrer quelques applications des deux règles importantes que nous venons d'établir.

!• Trouver la dérivée de yzzof.

Prenons le cas le plus général d'une fonction définie par réquation

ueiv désignant des fonctions quelconques de a?. On peut considérer y comme une fonction composée et Ton a

y' zz u'vu^^ -h v'u%u.

Celte formule appliquée à l'exemple y zrx', donne

y' zix^L{ex),

2® Trouver la dérivée de

p {\)yzzx\

p et q étant entiers, et qnelconqueft.

Supposons d'abord pet; de même signe. La relation proposée peut s'écrire

et Ton peut considérer y comme une fonction implicite de x. On a donc

^pjr^^y'qy'f''zzo ou

, par' .

y zz- •

Mais on a, d'après (i),

par suite

Il nous reste à examiner le cas où p et ; ont des signes contraires.

En mettant les' signes en évidence on a

En prenant la dérivée de ce quotient, par la règle connue, il vient

ou encore

II' —

En comparant les formules (3) et (4) avec celle qui donne la dérivée de la fonction y = x^y quand m est entier et positif, dérivée qui, comme nous Tavons vu, est égale ktnx'^''\o\\ peut dire : quel que soit Vexposant, entier ou fractionnaire,

positif ou négatif la dérivée de la fonction x"\ est toujours égale à //w;"*"' .

d04L. Théorème. Soit f(x , y) une fonction entière par rapport aux lettres x et y y on a

L'écriture symbolique f^^ veut dire qu'on a pris d'abord la dérivée partielle de la fonction f par rapport à a; ; puis, ce résultat obtenu, qu'on a calculé sa dérivée partielle par rapport à y. D'après cela les deux opérations indiquées par les symboles f^^^ el fyy. ne sont pas, en apparence, identiques : nous voulons précisément montrer qu'elles conduisent bien, par des voies différentes, aux mêmes résultats.

Soit U zz Wafy^y un tenne quelconque de f\ on a et, par suite

On a de même

V'zzqHxV'

et, par conséquenl

Eq comparant ces résultats on a

Cette remarque étant vraie pour un terme quelconque de /, la propriété énoncée se trouve établie.

Nous avons supposé que l'expression U, considérée dans cette démonstration, renfermait à la fois les lettres a? et ^ ; il est, en effet, évident que ces termes seuls devaient être soumis à la remarque précédente, les autres termes donnant un résultat nul quand on a pris deux dérivées successives, Tune par rapport à a?, l'autre par rapport à y.

On exprime quelquefois la propriété précédente en disant : l'ordre dans lequel on prend deux dérivées successives est in~ différent.

30S». Théorème d'Exiler. Le théorème d'Ëuler que nous allons démontrer estrelatif aux dérivées d'une fonction entière et homogène. Nous rapelons qu^une forme algébrique enlière U, est homogène, et du degré w, par rapport aux lettres x^y, z.,,, lorsque la somme des exposants qui affectent ces lettres, dans un terme quelconque de U, est égale à m.

Le théorème d'Euler peut s'énoncer ainsi: le pî'oduit d'une fonction entièi*e et homogène des lettres x, y, z, etc., par le degré de r homogénéité, est identique à la somme des dérivées partielles de la fonction , multipliées, respectivement^ par les variables correspondantes é

Nous voulons démontrer ^identité

Pour fixer les idées prenons une forme entière à trois variables. Soit H un terme quelconque de cette fonction,

(a) HsAa;Viî^ avec la condition

DeTégalité (i) on déduit^ successivement,

ir s: aAx^-^y V

d'où

ou .

xU^+ yli; + 3li: = (a + g + y) Au;y£Y

xU'-hyll'-hzU's:mtt.

En appliquant cette formule aux différents termes de U, on reconnaît Texactitude de Tidentité (i).

exercic.es

i . Démontrer que si l*on a

^ ^U,. U, ... L\ y —y V VT

U|, Us ... ; Vfi V„ ... éUtni des fondions de x; le double de la dérivée togarithmique de y est égal à la différence entre les dérivées logarithmiques des facteurs \J et \ ; démontrer^ en dautres tennes, la formule

Hm Une fonction y est définie par les deux équations

t étant la variable indépendante; montrer que Von a

Généraliser cette question en considérant // comms définie par les deux équations

f{x,y,l)=o ^(x,yJ)-o

Pour cette seconde partie, on appliquera le théorème des fonctions composées et l'on aura

Ces deux relations et Téquation y ' = — permelteut de calculer y'.