Démontrei' que si l'on pone

2/ = arcsin8M{i — 2tr)(* — 8?<' + 8?Ovi -«>

on a

1. En désignant par les lettres u et r, deiu fonKlions de x, vérifier le tableau suivant

UV

My' — vu'

y = arclg-î— -. U'-'' ^.^^*

/ — uv'—oW

•i \fUV if —

/ — mu' — vu' 2 y/ MV ?/' — ::r-

y/ = arclg^-^3^ • [u + vWuv

y-arclg— ^j— «^ a^Ue^v^

8» Trouver les dérivées successives de

On remarque que y'

— ~ "*"r"'* *■'" ** u auire

x*-hi x-^i x — i

Ou a doue

U' =x-' (x-h i)-' - - Lv - «T'

De cette formule ou déduit »/ '^^ sans diriicuité. 9. Vérifier ie tableau suivant :

//izarc sin r

i-hx*

y izarclgvj?'— 2x-f-arcsin

y zz arc sec - -f- arc colg- ' "^

II'

i/ — arc sec V dC* -f- i

y -ZL arc sin (3x- — Sx^) y* =z — -

j;* — i , 2 y — arctg — ■ y/'rz- -^

// ~ h- y'rzSx

\X*-h i —X \X'-h i -hx

(^— //) L(x-+;j + \ q-^'xpx^x")

y':=^\q + y'X-hx'

. .r — i î // — L — ^ 2 arc [y: x v' —

y-arclg

2 j; — IX

•^ o/yr* — •

'IX — iX-h i

(x — a,) *...(x — g,) ^ {x^b,)\„.{x^-by

. La formule de Taylor que nous allons élablir donne le développement de la fonclion /"(a: + ^)» suivant les puissances croissantes de A, au moyen des dérivées successives de f{x). Nous nous occuperons d'abord, et plus particulièrement, de la fonction entière ; mais nous donnerons aussi ri'Jenlilé de Taylor, dans le cas général.

309. Formule de Taylor. Soit /*(x] la fonction proposée ; on a

ou, en posant

(Aa) r^x) = \x — a) ? (x) -h A^).

De cette idenlilé on déduit, en prenant les dérivéïis succès sives,

(A,) f'{x)-{x^c^):^'U^•V^z.{,r) (A.) /"(^) = (a;-fl)9^;^)-h2^'(x)

(A; r^\x)^(x^a^^^^'^ {A-Yp^^'^'\x).

Multiplions les identités (Ao), (A,), (AJ, ... (A^); respecli vement par

a^ x (a— a;)* {a — xf

puis ajoutons les résultais ainsi obtenus ; nous avons, après réductions,

Celle identité constitue une des formes algébriques de la formule de Taylor. On pose ordinairement n — x:=:h\ Tidenlité précédente devient alors

( . ) f{x+h )^f{x)-h-r '(X) -\-—f (.r)+ . .+lî-/-''"'(.r^+-^-'r'"' (a.-\ Dans cette formule on a posé