U IJ
lim-=lim — ;
en admettant que z ne soit ni nul, ni infini.
ifVmm. Supposons maintenant que la limite de-r^ soit égale à zéro. Posons
(,) YziL!-hA,
A désignant une quantilé arbitraire, mais diflérente de zéro. On a donc
Y est encore une fonction de x qui, pour x = œ^, prend la forme -^.
En effet, si pour xzzxo, U -h AV n'avait pas une valeur in-
finie, — aurait pour limite zéro et la formule (a) indique, au contraire, que la limite de Y est égale à A. On peut donc appliquer la règle de l'Hôpital à l'expression indéterminée que donne la formule (3), pour a: =: o. On a ainsi
limY =:lim ^.77 —
ou
limVnlim — -f- A.
La limite de Y étant égale à A, on voit que la limite du rapport— est égale à zéro. On a donc encore,
limrr — lim—.
3« Cas. Supposons enfin que la limite cherchée soit infinie. Alors le rapport— prend la forme ^, pour xznx^^ et a
pour limite zéro. D'après ce qui précède la vraie valeur de —
est égale à la limite de -p; cette limite est donc égale à zéro.
U' Ceci prouve que la limite de — ,.pour xzzxo^ est. une quan-
362 VÎNGT^INQUIÈME LEÇON
tité qui croit indéfiniment, comme la limite du rapport-.
384. Indéterminées de la forme (o. qd). Soit ^ une fonction de X, définie par l'équation
U et V désignant deux fonctions de x qui pour xzzx* prennent des valeurs Uo et Vo, telles que Ton ait simultanément
Uo — o Vo r" 30.
o Ces sortes d'indéterminations se ramènent à la forme - . en
remarquant que l'on a
Elles se ramènent aussi à la forme -^, en écrivant y de la manière suivante :
Remarque. Dans la pratique, il n'est pas indifférent de ramener les indéterminées de la forme (o . oo), à celles de la
forme -, ou à celles de la forme ■^. Il importe, dans chaque
exemple, de choisir celle de ces deux transformations qui donne lieu aux calculs les plus simples.
Soit, par exemple, y r: xLx ; on demande la valeur de y, pour a? = o. On écrira y, sous la forme
Lr
la règle de L'Hôpital donne alors
lim y zr
OU
lim y =: -X,
Pour xzzo, on a, lim y zi <».
On remarquera que, en adoptant Tautre transformation, en
écrivant y = , la règle de riïôpilal donne lieu à des
calculs qui se compliquent, de plus en plus, sans aboutir au résultat cherché. Nous reviendrons, d'ailleurs, tout à l'heure sur ce point, pour montrer comment la règle de l'Hôpital est. dans certains cas, impuissante à résoudre Tindétermination.
aS&.IndéÉemiinéesdela ffoniie( »— »). Soity=:U— V, U et V désignant des fonctions de x qui, pour x = Xo, prennent des valeurs infiniment grandes, et de même signe.
Dans ce cas, on met y sous la forme
et Ton cherche la limite de ^ ; si cette limite n'est pas égale à
l'uifité, y est infini pour x:=:xo. Si, au contraire, on a
lim- 1= I, y se présente sous la forme o. x. . On peut alors
traiter cette indéterminée, comme nous l'avons expliqué au paragraphe précédent.
Remarque. Lorsque les fonctions U et V ont des dénominateurs, lorsque
u=i', v=LS
on peut remarquer que Ton a
En général, cette transformation est utile parce qu'on est
ainsi ramené, immédiatement, à Tune des formes -, ou-|,
formes auxquelles s'applique la règle de L*Hôpita1. Lorsque U et V n'ont pas de dénominateur, on changea:
en—, et Ton peut alors effectuer, sur la nouvelle forme, la
transformation de ^, en un quotient.
Un exemple fera mieux comprendre Futilité de cette remarque.
Considérons trois fonctions entières de a:,
Vi-z ccP j^(xx^'^ + ,.. + X \V=: x' +vj:'"' + ...+v
et proposons-nous de trouver, pour xzz », la vraie valeur de Texpression suivante
les radicaux étant pris, d'ailleurs, avec des signes explicites.
En posant a: r= —, on a
Pour X = o cette expression se présente sous la forme - . En appliquant la règle de THôpital, on trouve facilement,
a "^, pour la vraie valeur de y.
EXPRESSIONS INDÉTERMINÉES 3fe5
330. Indéterminées de la forme (^)^, on de la forme (o®). Lorsque dans la fonction
on suppose que, pour a; = Xo, U est infini, et V nul, on a l'expression indéterminée (»**). On ramène ce genre d'indétermination à la forme (o. (x) en remarquant que Ton a
