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U, V, W désignant des fonctions entières, par rapport à un paramétre variable t, et tout au plus du degré p. Ces courbes sont dites nnicnrsales.
La courbe proposée F admet - (p— 1) {p ~ 2) points doubles
A ; prenons, sur F, (p — 3) autres points A. Le nombre total des points A et B est donc
1. Les Anglais emploient le terme préférable deficieney (V. Salmon, higher plane curves; troisième édition, p. 3o). La démonstration du théorème suivant est tirée du livre cité ; noua Tavons seulement développée pour en rendre la lecture plus courante.
5iJ2 TRENTE-NEUVrÈME LEÇON
OU
OU, encore,
D'ailleurs (Leç. i5, ex. i) une courbe de Tordre m, a, dans son équation générale, un nombre de paramètres arbitraires égal à
D'après cette remarque, et d'après (1), par les points A, B, et par un point arbitraire du plan, on peut faire passer une courbe * de Tordre i? — a ; et on n'en peut faire passer qu'une.
Cherchons combien les courbes F et ^ possèdent de points communs, en dehors des points A et B, que nous supposons fixes.
La courbe F est du degré p, * est du degré (p — 2) ; elles ont donc, tout au plus, pip—^) points communs.
Mais il y a - (p — 1) {/> — 2) points A, et chacun de ces points
étant double, on peut dire que F et * ont (p — 1) (p — «) points communs confondus avec ces points A. Ajoutons-y les (p — 3} points B et nous trouvons, pour les points fixes, un nombre total de points communs dont le nombre est
Ainsi, les courbes F et $ ne peuvent avoir, en dehors des points fixes A et B, qu'un seul point commun U.
Les courbes ^ forment un réseau ; mais si Ton observe que par un point donné passe une seule courbe de ce réseau, on
LES UMCURSALES 553
voit que Téquatioa générale de ces courbes admet des coefficients variables^ dans lesquels n'entre qu*une variable ^, au premier degré. Les coordonnées a?o,yo, du point M, vérifient donc les deux équations :
L*équalion /"= o est du degré p ; si on élimine y entre ces deux équalions, le résultant est du degré p par rapport aux coefficienis.de ? ; ce résultant R (x) = Aa;* -f- ... i= o, est donc du degré p, par rapport à t. Mais toutes les racines de cette équation sont connues et Ton peut écrire
S{x) représentant le produit
(x — ayCiT— a')'- (a; — 6)(a; — 6')...;
expression dans laquelle a, a',... ; désignent les abcisses des points A: 6,6',... ; celles des points B. L'identité précédente prouve que x^ est donné par la formule
Dans celte égalité, R(o) et A sont, en général, du degré /?, par rapport à t, et, dans tous les cas, ne sont pas d'un degré supérieur ; S (o) est une constante indépendante de t.
itOB. Théorème. Lorsque les coordonnées a?, y, dun point M vérifient constamment les relations
U> V, W désignant des fonctions entières de t du degré />, du moins pour celle qui est de V ordre le plus élevé ; si U, V et W ne sont pas divisibles, simultanément, par un facteur commun^ fonction de t ; on peut dire que le Heu décrit par M est une courbe F, du degré p.
oH THENÏE-NEUVIÈME LEÇON
Prenons en effet une droite quelconque A, dans le plan de F et soit
ax + fty 4- cz — <»,
réquation de celle droite. Pour déterminer les points communs à F et à A, nous devons, d'aboixl, résoudre réquation en l:
aU + ôV + c\V =: o,
laquelle est du degré p et n*est pas décomposable, quels que soient a, 6, c, en facteurs rationnels, si, comme nous le supposons, U, V, W n'admettent pas de diviseui* commun. Elle a donc^ racines t^^t^, ,.. t yh chacune desquelles correspond un
point commun à F et à A. Cette remarque établit que Tordi'e de F est égal à p.
MM. Théorème. Si une courbe unicursale con^espond aux formules suivantes:
le coefficient angulaire m^ de la tangente au point M qui correspond à la valeur t, du paramètre variable, est donné par l'égalité
On a, en effet,
et, d'autre part,
LES LNIGURSALËS o5d
Eq divisant ces deux égalités, membre à membre» la formule annoncée se trouve établie.
4€Mf. Théorème. La classe d'une unicursale du degré p est égale à (yj — 2), tout au plus.
Cherchons combien Ton peut mener de tangentes, parallèles à une direction donnée, à une unicursale de Tordre p.
L'égalité (B) est, tout au plus, du degré ap — 2, par rapport à t. Prenons, par exemple, le numérateur ç'^ — ti/'ç : celte expression est, en apparence, du degré aj»— i ; mais il faut observer que dans ?'>i^ et t}/'<p, pour des raisons évidentes, le terme du degré le plus élevé disparait nécessairement. Cette remarque s'applique au dénominateur f'^ — «y/*. Ainsi le nombre des tangentes parallèles à une direction quelconque est tout au plus égal à 2^ — 2; ce dernier nombre exprime donc la classe de la courbe, à moins que cette classe ne soit inférieure à 2p — 2.
SlOH. C)orollaire. Les cubiques à point double sont^ tout au plus, de la quatrième classe.
