ÉCOLE CENTRALE

PREMIÈRE SESSION (1883;. — On donne deux axes Ox, Oy, un point A sur OXf un point B sur Oy :

1* Former l'équation générale des paraboles telles que, pour chacun d'elles, Oy soit la corde des contacts des tangentes menées dn point A, et Ox la corde des contacts des tangentes menées du point B.

3* Trouver le lieu des points de rencontre de chacune de ces paraboles arec celui de ses diamètres qui passe par un point H donné sur Ox.

On déterminera un nombre de conditions géométriques suffisant pour pouvoir tracer le lieu et on cherchera comment doit être placé le point H, pour que ce lieu se réduise à des droites.

30 Déterminer le paramètre variable que renferme Téquation générale du n*' 1, de façon qu'elle représente une parabole passant par un poiot donné P, et chercher dans quelles régions du plan doit se trouver le point F, pour que le problème soit possible.

2« SESSION (1883). — On donne, dans un plan, un rectangle ABCD et un point quelconque P ; par ce point, on mène une droite de direction arbitraire JPR ; des quatre sommets du rectangle on abaisse des perpendiculaires AA', BB', CC', DD/ sur cette droite.

Ceci posé, on demande de démontrer*:

1*' Que, parmi toutes les droites PR, issues du point P, il eu existe uue, PR/, pour laquelle la somme r* des carrés des distances des quatre sommets du rectangle à cette droite est maxima, et uoe antre» PR', pour laquelle cette somme est minima ;

:2« Que les deux droites PR' et PR'*^ sont rectangulaires ;

S** Que le lieu des points P, pour lesquels le maximum de r« conserve une valeur donnée (&*, est une conique, et que la tangente à cette conique au point P est la droite PR'. — Que, de même, le lieu des points P^ pour lesquels le minimum de f* conserve une valeur donnée X*, est une co* nique, et que la tangente à cette conique au point P est la droite PR' ;

4** Que ces deux coniques sont homofocales et cpie leurs foyers communs sont iudèpendants des valeurs attribuées aux deux paramètres {i*,X'. Donner la position de ces foyers et examiner eu particulier le eu où Tune des deux dimensions du rectangle s'annulerait.