Application au setMiad degré. Soit
cc^ + px -^ q zz o.
réquation proposée. En posant
y -z x\ et y 4- pjj + ^ = o,
on a une première construction au moyen d'une droite et d'une parabole P qui est la même pour toutes les équations que nous allons considérer.
On peut aussi résoudre la question en écrivant réquation proposée sous la forme :
l^x+^J + y^zziT^^-q,
En construisant le cercle A qui a pour équation
les abcisses des points communs à A et à Taxe des Xy sont les racines cherchées.
3. Reaiarqae. Avant d'aborder réquation du troisième degré nous ferons une remarque générale, remarque ayant pour but de montrer comment on obtient l'équation du cercle passant par les trois points communs à deux coniques F, y, qui ont seulement une direction asymptotique commune.
Prenons Taxe ox parallèle à cette direction et soient
(F) AV + iB'xy + 2Ca? + aC^ + A'' = o, (y) ûtV + ^à^ix^y + 2CX -h ^c^y -h a" zz o,
les équations des coniques considérées. Nous en déduisons :
y [My + '^Wx 4- aC) := — (2(lr -f- A") , y {a'y 4- ib^y + ic') zz — {'Jtcx 4- a")
et, par combinaison, en supposant y ?fo,
a'y -h ^b"x + ac' ^ acx + a"' Cette équation, mise sous la forme entière, donne
(i) our" 4- aga^y + Ya; + 8y -f e — o, en posant
a = 4 {B'c — Cb").
On doit observer d'ailleurs que a n'est pas nul, car si Ton avait
BV — Cô%
les coniques considérées auraient une asymptote commune, savoir la droite qui correspond à l'une ou à l'autre des équations suivantes :
B^y -h C iz o, b^y-hczzo.
Multiplions les équations (F), (y), et (i), respectivement, par X, (J') et + 1 ; après addition, nous obtenons le résultat suivant:
U désignant une forme linéaire d'à? et d'y. Si nous posons
(3) >A'-f-lxa' — a = o, B''X -f- 6 V H-P =: o,
ces équations donnent pour X et (ji des valeurs finies et bien déterminées. En effet, le déterminant des inconnues:
est différent de zéro, si, comme nous le supposons, les deux coniques considérées ont une seule direction asymptotique commune. L'équation (a) représente donc le cercle passant par les trois points communs, situés à distance finie, des coniques (F) et (y) .
4. Éqaation dn troistéme de§^. Considérons maintenant réquation
et posons, comme plus haut,
(P) y=x\ Nous avons, d*aborcl,
(3) xy-i-py-hqx-hrzzo,
puis, en appliquant la méthode que nous venons d'exposer,
y*-hpxy-h qy-hrxzzo, et, finalement,
(A) x^-hy'-hyiq—p* — i) -l-j?(r— py)— pr=:o.
En construisant i"" le cercle qui correspond à cette équation , a"" la parabole P; les racines cherchées sont des abcisses des points communs. Le cercle A et la parabole P, ayant quatre points communs, nous avons donc introduit une solution étrangère. Cette solution esixzzp.
&. Équation do quatrième de§^é. Prenons enfin le cas de réquation du quatrième degré, et supposons qu'elle ait été débarrassée du terme en x' ; soit
x^ -H px* -f- ça? + r zr o,
cette équation. Posons encore,
et nous avons •
y* -hpy -hqx-hrzzo.
Ces deux dernières égalités donnent, par combinaison, ar" H- y" H- (p — i) y -h ?^ H- r = o.
Le cercle A' qui correspond à cette équation et la parabole P, ont quatre points communs dont les abcisses sont les racines cherchées.
B. Applleatioii aux équations transeendaiites. La
conslruction graphique des racines d'une équation donnée s'applique très heureusement à la séparation des racines d'une équation donnée et notamment à celle des racines des équations transcendantes.
Si
représente l'équation proposée et si l'on a
après avoir construit, comme nous l'avons déjà dit, les courbes qui correspondent aux équations
Si Ton prouve, par ce tracé, qu'il existe un seul point M commun à ces courbes entre deux parallèles à Taxe des y (a; = a, a: = 6); il sera par cela même démontré que l'équation (i) admet une seule racine dans l'intervalle (a, 3).
Après avoir ainsi séparé une racine, on pourra calculer, par les méthodes connues {Alg. lec. 38), des valeurs de plus en plus approchées de cette racine.
Dans quelques cas, il pourra être avantageux de transformer, avant tout calcul, l'équation donnée.
K. Exemple. Résoudre V équation (')
(i) x" ziz \oo.
Prenons les logarithmes des deux membres dans le sjrstème vulgaire, nous avons
X loga:rr a.
1 . Cette équation a été considérée par Enler. (Bulletin des sciences, par FéruBsac, 1829.)
Changeons de variable et posons
réqualion proposée devient
(2) 2X -4- log X = o, .
et nous allons considérer les deux équations
y + 2X = o, 2/ = log X.
La première représente une droite qui passe par l'origine et par le point (1, — 2); l'autre est la logarithmique dont la forme est bien connue (V. A/^., § 266).
Nous déduisons de là que Féquation (2) a une seule racine réelle, comprise entre o et 1.
On peut resserrer cet intervalle et reconnaître, îmniédiate-
1 1 ment, que cette racine est comprise entre - et 7.
En partant de ces limites, et en appliquant la méthode de Newton, on trouve
et, par suite,
