XX X
on a d'abord.
c z= lim - , (pour x zz «).
LES ASYMPTOTES i83
D'autre part, cette même relation (i), écrite ainsi :
dzzy^cx-h MM', donne, encore,
d zz lîm {y — cx)y (pour x =r »).
Ces deux remarques constituent le principe que nous voulions établir et qui est d'un usage constant dans la recherche des asymptotes. Nous l'appliquerons d'abord à la détermination des asymptotes parallèles dans les courbes algébriques ; nous montrerons ensuite son utilité dans les courbes dont les équations sont irrationnelles ou transcendantes.
148. Asymptotes parallèles. Soit (i) F(a:,2/) = o, l'équation d'une courbe U; posons, conformément à la notation précédente,
et, poura?— », on a lim - iz c, c étant une racine de Téqua
L'équation (i) peut s'écrire :
ura?— 00, on a ]-•** — lion :
ce résultat a été déjà obtenu, (§ i43). Posons maintenant :
x,y désignant les coordonnées d'un point M de U, on a : w('.c+ ^) + ^„,(«.eH-i) H- ^pç„,(i.c+i) +... + *, =--0,
ISS
QUATORZIÈME f.EÇOX
OU
-^-?m-i(sO
Le nombre considéré c, étant une des racines de Téquation ^^{i—c)zzo,on peut diviser celle relation par - et récrire :
Çm-2
Si Ton suppose que M s*éIoigne à Tinfini dans une direction qui n*est pas celle de Oy, - décroit au-delà de toute limite.
D'ailleurs, comme Ton a : 8 = y — ca?, et d z= lim (y — rx), on peut dire que la limite de 8 est d, pour a?zi ». Si Ton n'a pas, simultanément :
o'^{i,c)zzo, et ?^., («,r)rzn, on a, pour déterminer d, l'équation :
formule déjà trouvée {% i43).
Mais supposons, ce qui est le cas nouveau que nous voulons envisager, que Ton ait, simultanément.
réqnation (i) devient divisible par -, et peut s'écrire :
LES ASYMPTOTRR
et, si Ton n'a pas, simultanément.
o, ^^-'-zzo;
on voit que la limite de B est donnée par Téquation du second degré :
Dans le cas contraire, l'équation (2) est divisible par -
et le nombre d est Tune ou Tautre des racines de Téquation da troisième degré :
et* //* //
et, ainsi de suite.
fiflO. Disposition relative de la i»ranelie de eouriie et de rasymptote. Lorsqu'une droite A est asymptote à une courbe F, on doit, pour préciser le tracé de F, chercher quelle est la situation relative de la courbe et de Tasymptote. Cette disposition dépend du nombre et de la position des points communs à A et à F, elle dépend aussi du nombre et de la position des bras de la courbe qui sont asymptotes à A.
Il est quelquefois facile de déterminer les points de rencontre de A et de F; dans les cubiques, il y a un seul point commun à la courbe et à l'asymptote; dans les quartiques il
\m QUATORZIÈME LEÇON ;
y en a deux^ tout au plus ; par conséquent jusqu'aux courbai du cinquième degré, exclusivement, on peut déterminer la rencontre de la courbe et de son asymptote par des équations du premier ou du second degré.
Cherchons maintenant à déterminer la position du bras de la courbe relativement à l'asymptote; nous supposerons que la courbe est algébrique et nous examinerons seulement le cas où la direction asymptotique considérée est une direction simple; la courbe F, qui est du degré m, rencontre A, eni {m — 2) points, tout au plus ; si nous imaginons un mobile | parcourant A et s'éloignant à l'infini, après avoir traversé le dernier point commun à F et à A, ce mobile a constamment la courbe à sa droite, ou à sa gauche, et nous voulons indiquer comment on peut déterminer celle de ces deux positions qui doit être donnée à F et à A.
Nous conserverons les notations employées plus haut; nous désignerons par a?, y les coordonnées d'un point M pris sur la courbe F, coordonnées qui vérifient l'équation :
?m(iZ?,y)-+-?m-l(^,y)-4-?m-2(^,y)+ • • + ?o = O.
Nous poserons :
(1) ynca^ + S,
c étant le coefficient angulaire de la direction asymptotique considérée ; enfin nous représenterons par Y l'ordonnée de A, qui correspond à l'abcisse a?; Y se calcule par la formule :
(2) Y — CtT-j"^-
La méthode générale pour déterminer la position respective d'une courbe donnée et de son asymptote consiste à étudier le signe de la fonction e : »
pour de très grandes valeurs de x, La détermination de ce signe permet de fixer la position du bras de la courbe, et de
e tracer au-dessus, ou au-dessous de Tasymptole, suivant gne e est positif ou négatif.
On a :
Un calcul fait plus haut (§ i48), donne, après avoir remarqué que ?„ (i,c) =0,
On sait aussi que d est donné par la formule :
quand on suppose, comme nous Pavons fait, 9^7:^0. L'égalité (4) peut s'écrire, d'après cette remarque.
en posant :
D'ailleurs les égalités (1), (2) et (3), donnent
e iz 5 — d,
On a donc enfin :
£< + * î V + iu 1=0.
Quand x prend des valeurs croissantes au delà de toute limite, V a pour limite le nombre « :
En supposant v ;zf o le signe de e est bien déterminé, c'est celui de la quantité : —
Ainsi, dans le cas général, on pourra fixer la position relative de la courbe F, et de son asymptote A, en cherchant le signe du rapport :
En dehors de ce cas général, le problème qui vient de nous occuper offre le plus souvent quelques difficultés que Ton peut ordinairement surmonter par une discussion du signe de la fonction e, discussion dont la marche varie d'ailleurs avec les exemples particuliers que Ton peut rencontrer.
4. Vérifier que dam le cas où Von suppose A A' — B"^ = o, Vasymplotede la conique est rejHée à Fin fini.
5. Reconnailre que Vasymptofe du folium de Descartes^ courbe qui correspond à Viquaiion:
x^ -f- y" — 3flwcy =: o, a pour équation :
•. Construire les asymptotes de la cubique (fui a pour équation :
Ou trouve
y~o, x + y=zi, x + yziz—t.
4. L'asymptote réelle de la courbe qui correspond à l'équation :
x^-^y* ' x* — y*=zo, a pour équation :
LES ASYMPTOTES (suite)
THEOREMES GENERAUX
H&O. Théorème 1* Le nombre des asymptotet (Tune courbe algébrique du degré m, est en général égal à m; il n'est jamais supérieur à m.
Comptons d'abord les asymptotes parallèles à y; si la plus
haute puissance de y est y**, le coefficient de y'* est une fonction entière tout au plus du degré m — p, qui donne (m — p) asymptotes, réelles, imaginaires ou coïncidentes, {$ i34}.
D*autre part la fonction <fm {x , y) ne peut renfermer y qu'à
la puissance p, tout au plus, puisque nous supposons que y^ est la plus haute puissance de ^, dans Téquation proposée. Quand on remplace x par i, y par c, dans cette fonction, pour déterminer les directions asymptotiques quelconques, on trouve donc une équation du degré p, seulement. Si la direction considérée est simple, il y a une asymptote correspondant à cette direction, et il n'y en a qu'une; si la direction est double; il peut y avoir et il y a, en général, deux asymptotes correspondant à cette direction; si elle est triple, il y en a, généralement, trois, et il n'y en a que trois ; et ainsi de suite. Dans tous les cas, le nombre des asymptotes quelconques est égal, ou inférieur, à p*
En rapprochant les deux conclusions qui précèdent, on voit, finalement, que le nombre total des asymptotes est tout au plus égal à (m — p) -hp, c'est-à-dire, tout au plus égal à m.
151. Théorème H. Une parallèle à une direction ast/mptotique d'une courbe du degré m, ne rencontre cette courbe qu'en {m — i)pointSy à distance finie.
Soit a, 3 la direction asymptotique ; Téquation de la courbe peut s'écrire, avec les notations que nous avons adoptées,
V désignant un polynôme entier et homogène en a; et y du degré [m — i). Cherchons Fintersection de cette courbe (i) avec la droite qui a pour équation :
;u) '^x— xy — \z — o,
A étant un paramètre arbitraire. Une combinaison évidente des équations (2) et (1) permet de remplacer celle-ci parla suivante, qui est du degré (m — 1) seulement, en x et y.
Un des points cherchés appartient à la droite de Tinâni ;: = 0 ; et il y a, tout au plus, {^m — 1) points à distance finie.
15S. Théorème 111. Une asymptote de direction simple^ dam une courbe du degré m, la renconlrCy tout au plus, en [m — 2) poiyits à distance finie ; plus généralement , si ^asymptote considérée correspond à une direction asymptotique de multiplicité h y elle ne peut avoir que {m — h — 1) points commuîis avec la courbe, à distance finie.
Les solutions communes aux équations :
y=zcx-hdf ?m {x^y) -f- ?m-i (x , y) + ... -+- Ço r: 0 ;
peuvent se déterminer, par un calcul déjà présenté {$ i48)» moyen de Téquation :
19« gL'INZIKME LEÇUN
