XX X

tout connu (p^(i ,c), sont nuls, par hypothèse; de plus, l'ordonnée à l'origine de Tasymptote se détermine par 1 equa.tion :

dont le premier membre est précisément le coefficient de (-) . il y a donc bien (A-+- 1) valeurs de - nulles ; h-hi points sont rejetés à Tintini.

I&3. Théorème WW. Une parallèle à une asymptote ^3 coiTespondant à une direction asymptotique de multiplicité h, rencontre la courbe en {m — h) points^ tout aupluSy à distance finie.

Dans le calcul précédent remplaçons e/par X, ce qui revient à chercher Tintersection de la courbe avec une droite quel-

LES ASYMPTOTES i93

conque, parallèle à Tasymptote A. Dans l'équation (i) tous les termes disparaissent jusqu'au terme en — exclusivement;

il y a donc A racines nulles en - , c'est-à-dire h points rejetés

à l'infini.

1&^ Exprimer qa'one droite est asymptote d*aoe eouriie algébrique. — Théorème V. Pour qu'une droite, non parallèle à Vaxe des y soit asymptote d'une courbe algébriquCy il suffit qu'elle satisfasse aux deux conditions suivantes :

1" Son coefficient angulaire doit être une racine simple de réquation ©m (i , c) ir o.

2* Elle doit rencontrer la courbe, supposée du degré m, en (m — 2) points, tout auplusy à distance finie.

En effet, soit : y z=, ax-^b Téquation de la droite proposée ; en cherchant son intersection avec la courbe et en exprimant que deux des points sont rejetés à Tinfini, on a :

D'ailleurs, a est une racine simple de Téquation (1); par

conséquent ?'m,a n'est pas nul et si Ton cherche l'asymptote qui correspond à la direction asymptotique a, la quantité que, dans cette théorie, nous avons désignée par d, sera donnée par réquation

En comparant (2) et (3), on voit que dzzb. L'asymptote est donc la droite donnée.

Remarque. En appliquant la propriété précédente, il faut bien remarquer que l'hypolhèse que la droite a deux points communs avec la courbe, rejetés à Vinfini est une condition néeessaire, mais non une condition saffisante, et Ton doit s'assurer, d'abord, que la direction de la droite est une direction asymptotique simple,

DeL. ToîiElI- »^

1&&. Théorème ¥1. Lorsque Véquation d'une courbe se présente sous la forme :

/m-â {x, y) désignant une fonction entière du degré (m — 2), tout au plus; P,,P„ ... P^, représentant des fonctions linéaires d'x et d'y :

i'^ Les droites qui ont pour équation, respectivement y

(a) P,z:o, P. = o,...P,,,no

sont les m asymptotes de la courbe, quand elles sont deux à detix concourantes;

20 Si parmi ces droites il y en a quelqu'une qui ne soit parallèle à aucune des autres, elle est une asymptote de la courbe.

3° Réclproquemeni, si une courbe admet pour asymptotes les m droites (2), supposées deux à deux concourantes , son équation peut toujours être mise som la forme (1).

i^ Si nous cherchons d'abord Tintersection de la droite P, iro, avec la courbe (1), cette intersection est déterminée par la résolution des deux équations :

il y a donc deux points rejetés à l'infini. D'ailleurs, en posant :

on voit que l'on a :

les droites P n'étant pas deux à deux parallèles, e,, ... c^ sont

des racines simples de réquaUon^^(i,c) = 0. Le théorème

établi au paragraphe précédent prouve donc que la droite qui a pour équation P, = o, est une asymptote de la courbe ; et les m asymptotes sont, dans ce cas, les droites (2). s<^ Si une droite (P, =0) a un coefficient angulaire c,, différant

des aulres coefficients t'o;^,, ... e,,p le même raisonnement

prouve que cette droite esl une des asymptotes.

y* Ënfin^ si l'on suppose que les droites, ngn parallèles à Taxe des y, et deux à deux concourantes, qui correspondent aux équations :

soient les m asymptotes d'une courbe, du degré m^ ayant pour équation : U m o , on peut écrire celle-ci sous la forme :

f^^ désignant une fonction entière d'à; et d'y, du degré tn — 2.

En effet, puisque les directions asymptotiques sont celles des droites qui ont, respectivement, pour équation :

y — CiiC — o, y — c,a; zz u, ... y — c^^o?— o;

l'équation proposée possède un terme en y"*, et, après avoir divisé celle-ci par le coefficient de ce terme, on a :

D'autre part, on peut écrire :

Posons, conformément à la notation ordinaire :

U-P,P, ...P„=:,j;^(a;,y: + ^i,^j(a;,y)-f (J;^2(j;,y)+...-h(^o. L'identité (a) donne,

P) ?m(^>y)=(y— <'i^)-(y— '^«^)+<^m("^>y)■ E^ comparant les identités (i] et (3) on voit que :

On a donc, déjà,

el nous allons reconnaître que ^^ .j est aussi identiquement

nul.

Posons :

et cherchons Tintersertion de la courbe avec la droite qui a pour équation y r: CjO; -f- dj ; il y a deux points rejelés

à l'infini, et, dans (a') le terme en a;*""** doit disparaître, quand on remplace y par c, a; +- c?, .

L*équation :

devant se réduire au degré [m — i), tout au plus, on a :

A* -+ A^c-, -h . . . -f- A„^c,"'"' - o. Mais alors on peut dire que Téquation :

A, 4- Ajj H- ... + A^2"*"* — o ,

qui est du degré (m — i), admet m racines différentes- ^i> ^2 9 ••• ^m* '^'^^ ^^^ ^^'^^ identiquement nulle et Ton a :

A, =10, AjU^ro, ...A^no;

Ainsi (j;^.^ est identiquement nul et Tidentité (2') peut s'écrire:

(2O lî=:P,P,...P„, + •K-2(^^y)-+---^'>-

La propriété énoncée est donc démontrée.

l&G. Théorème Tll. Lorsque V équation dune courbe F, peut se mettre sous la forme :

UV — W zz 0,

U, V,W étant des fonctions entières d'à; et d'y, le degré de F une des fonctions U, ou V, étant supérieur à celui de W, les asymptotes de F, qui correspondent à des directions asymptotiques

simples^ s'obtiennent en cherchant les asymptotes des deux

coxtrbes f^ et^ qui ont pour équation, respectivement, U z= o etV=:o.

Soit h,h',h%les degrés respectifs des fonctions U , V et W, el m celui de F. Nous ferons d'abord remarquer que Ton a A + A'rr m: nous avons aussi, diaprés les hypothèses que nous avons faites,

par suite,

ou, enfin,

Ceci posé, soi%yzzax-hb Téquation d'une asymptote A, de ? : a est évidemment le coefficient angulaire d*une direction asymptotique de F, puisque {y — ax) est un des diviseurs de la fonction que nous avons désignée, dans cette Ihéorie des asymptotes, par ç^ (a?, y). Nous supposons d'ailleurs que a est une racine simple de l'équation ç^(i , c) zr o, ce qui exige, il importe de l'observer, non seulement que a soit une direction asymptotique simple dans 9, mais aussi qu'elle ne &sse pas partie des directions asymptotiques de ^.

Dans ces conditions, si Ton cherche l'intersection de F et de ^, U devient, après la substitution dey, une fonction entière de X, du degré A — a , tout au plus ; le produit U V donne donc une fonction d'à? du degré h+h* — 2zzm — 2; et comme h" est lui-môme inférieur ou tout au plus égal à m — 2 , deux points communs à A et à F sont rejetés à l'infini; si l'on ajoute que a est une direction asymptotique simple de F, on voit, finalement, que A est une asymptote de F.

t&9. Théorème TIII. Lorsque V équation (tune courbe F, peut se mettre sous la forme U — V :=: o, U étant du degré w, et V du degré w — 2, tout au pb(s, toute asymptote A, de la

courbe qui a pour équation U n o, et qui correspond à une direction asymptotique simple ^ est une asymptote de F.

Cette propriété est la conséquence immédiate de cette remarque : que A a, avec F, deux points communs à Tinfini; sa direction étant, d'ailleurs, une direction asymptotique simple.

1S8« Courbes irrationnelles et transcendantes.

La méthode la plus générale que Ton puisse indiquer pour déterminer les asymptotes dans les courbes qui correspondent à des équations irrationnelles, ou transcendantes, est la suivante.

On cherche d'abord la limite de -, pour xizos; supposons

que Ton trouve un nombre c: alors c est le coefficient angulaire d'une direction asymptotique. Après avoir déterminé cette direction, on cherche la limite de {y— ex), pour x=zac; et si Ton trouve que cette limite est un nombre d, la droite qui a pour équation :

y— ex — cf iz 0 ,

est, en général, une asymptote de la courbe.

Premier exemple. Soit une courbe F, ayant pour équation :

y zz ax + b

U et V étant deux fonctions entières de Xy et le degré de U étant supérieur de deux unités à celui de V. Divisons U par V, et posons :

R étant une fonction entière de x, d'un degré moindre que celui de V.

Si l'on considère le bras de courbe, bien défini, qui correspond à réquation :

yr: ax -f- 6 4- y/a:' -^ ipx + §' + -,

lorsqu'on donne k x de très grandes valeurs positives, et si Ton applique la méthode indiquée tout à Theure, on voit que:

est réquation d'une droite asymptote au bras de courbe considéré.

Il est facile de le vérifier en remarquant que :

Y— yzzx-^p—\x^-h W^-hq-h — .

expression qu'on peut encore écrire, par une transformation évidente,

^-^P + ^x-h2px + g-h^^

Quand on donne kxde très grandes valeurs positives, on trouve bien : Lim (Y —y) — o.

Se<N»nd exemple. On propose de trouver les asymptotes de la courbe qui correspondu réquation transcendante:

, sîna?

Il y a une asymptote non parallèle à Oy, c'est la première bisseclrice, droite dont l'équation est :

yzzx;

elle se détermine immédiatement par la méthode indiquée. Il y a une seconde asymptote qui est TaxeOy; cette droite se trouve, en remarquant que l'équation proposée peut s'écrire :

sin X sin x

Pour x = o, ^ a pour valeur Punité ; et la fraction — r-

tend vers Tinfini.

1&9. Asymptotes curvilignes. Lorsque deux courbes /* et F sont telles que la différence des ordonnées y et Y, qui correspondent à une même abcisse Xy tende vers zéro, quand X croit au delà de toute limite, on dit que ces deux courbes sont asymptotes Tune à l'autre.

L*axe des y ayant une direction arbitraire, on voit que deux courbes sont mutuellement asymptotes lorsque la corde interceptée entre deux bras de ces courbes, tend vers zéro, quand la corde s^éloigne indéfiniment.

Le théorème que nous allons établir permet de trouver une asymptote curviligne dans un assez grand nombre de cas.

leo. Théorème IX. Lorsque F équation (Tune courbe /*, peut se mettre sous la forme :

( 1 ) yP=:\]-h—y {p nombre impair),

U, V, W étant des fonctions enUères de x et le degré de V étant moindre que celui de W, la courbe F qui correspond à l'équation

(a) YP-U,

et la courbe f sont mutuellement asymptotes.

Donnons à x une très grande valeur positive ; — a pour

W limite zéro, et le signe de U -h — est le même que celui du

premier terme de U, polynôme que nous supposons ordonné par rapport aux puissances décroissantes de x. Dans tous les cas, à cette valeur de x correspond une valeur réelle et bien déterminée pour y et Y. Quand x varie et croit au delà de toute limite, on a, dans F un bras de courbe, dans fixn autre bras, et nous allons reconnaître qu'ils sont asymptotes, Tan à Taulre.

Les équations (i) et (2) donnent, en effet,

ou,

(3) (y-Y)(2/'"* + y'^-Y4-...-hY''-*)=zl

Pour de très grandes valeurs de a?, y et Y ont le même signe, celui du premier terme de U^ comme nous Favons remarqué tout à l'heure. Le polynôme :

est donc composé de termes qui ont tous le même signe, et chacun de ces termes croit au delà de toute limite, si U est une fonction de x, ce que nous supposons. Le second membre de régalité (3) tendant vers zéro, le facteur y — Y, du second membre, tend lui-même, à fortiori, vers zéro.

Cette conclusion subsiste, quand U est une constante ; mais alors Tasymptote, fournie par cette méthode, est une asymptote rectiligne parallèle à l'axe des x.

Nous ferons encore remarquer que dans l'hypothèse où p^i, et où U est une fonction du premier degré en Xy on obtient ainsi une asymptote rectiligne de la courbe.

Par exemple, si Téquation proposée est :

, ^ ax'-hbx

x — % En effectuant la division de ax* H- hx i-c, par a? + a; on a :

y — dx 4- aa 4- 0 H .

Les équations des asymptotes de la conique (1) sont donc :

X zz % , y — aa?-f-aaH-ô.

161. Remarque. Le raisonnement que nous avons fait dans le paragraphe précédent pour démontrer que les courbes

/ et F étaient mutuellement asymptotes, ne suppose pas que

— soit le quolient de deux fonctions entières de a:, mais seu-

lement que Ton ait Lim — no, pour x == œ. Cette remarque

permet de trouver des asymptotes curvilignes, dans un grand nombre de courbes irrationnelles, etnous aurons occasion de rappliquer, dans la suite, quand nous nous occuperons de la construction des courbes.

f . Démontrer que l'équaiion (§ i55}:

est r équation générale des courbes du degré m, ayant pour asymptotes Us droites P, droites qui sont^ deux à deux, concourantes.

On remarque que nombre des termes d'une équation du degré m est

(w + i)(w+a) „ , ^ (m+OCm-fa) m^-^'im

^ ^ ^^ ' ^ ; elle renferme donc ^ — î— — i = parame-

très variables. Le nombre des conditions données est 2m, chaque asymptote représentant une condition double. L'équation (1), pour être réquation

générale, doit renfermer : ■ 2m =z . La fonction / « (^ »y^

renferme précisément ce nombre de paramètres arbitraires et indépendants. S. Déterminer l'asymptote rectiligne de la courbe qui a pour équation :

On cherche d'abord la limite de^ct on trouve, c=a+«; on détermine,

ensuite, la limite de :y ^ oo;- ajr. On remarque alors que la difficulté porte sur la détermination de l'expression :

u zz Êj/x^^V + Ax^'' 4- . .. — x, pour X =r 00 ,

On pose :

EXERaCES 203

et l'on doit chercher niera la valeur do l'expressioD :

u— — ,pourX = o.

Si Ton ne veut pas appliquer la règle de T Hôpital, on remarquera que l'oQ a :

^l/i-f-AX-h... = i-\ X-hsX

e tendant vers zéro en même temps que X (*}. La valeur cherchée est donc — —, et réquatlon de Tasymptote est :

y:=:{a-hx)x-{'b-\ .

S. Construire la courbe dont l'équation est :

y zz yjx'' — '^X* -f- 2

en i'aidant des paraboles asymptotes.

On trouve que les deox paraboles qui correspondent aux équations :

sont des asymptotes curvilignes de la courbe proposée. 4. Construire la courbe qui a pour équation :

Cette courbe a une asymptote rectiligne, Taxe des y, et une parabole as?mptote Çï=x*),

S. On donne V équation :

trouver l'asymptote delà courbe qui correspond à cette équation y les signes des radicaux étant explicites.

i, Voyei, pour ce point, une note (Leç. 38), (g 3M^. ^

1 B19. DéfinlÉionsu Un point M placé sur une courbe F, du degré m, est un point simple de cette courbe lorsque les transversales tournant autour de M rencontrent, généralement, F en (w — i) autres points, réels ou imaginaires. Dans le cas contraire, le point M est un point multiple; et nous dirons qu*il est de multiplicité h, lorsque il y a À points communs à Tune quelconque de ces transversales et à la courbe. Un point d'une courbe peut être singulier sans être un point multiple et la singularité d'un point peut être absolue ou relative. Ainsi les points pour lesquels l'ordonnée passe par une valeur maxima et minima, offrent une singularité, mais une singularité relative, parce qu'elle cesse d'exister quand on change les axes de coordonnées, droites qui ne sont pas, nécessairement, des directions remarquables de la courbe. Au contraire : les points de rencontre d'une courbe avec ses axes de symétrie, les sommets de la courbe; ou, encore, les points d'inflexion que nous allons définir dans cette leçon, sont des points remarquables, dans le sens absolu de ce mot, quoiqu'ils ne soient pas, en général, des points multiples.

1G3. Théorème. Lorsque[oLy P, y) représente une soin* tion de Véqtiation homogène :

le point M, qui a pour coordonnées «, P, y> ^*^ ^^ poi»/ simple de la courbe F qui correspond à cette équation^ si Fon n'a pas, à la foiSj

au contraire j c'est un point multiple y si ces relations se trouvent vérifiées.

Menons par le point M une transversale A et prenons sur elle un point P, dont les coordonnées soient {x^yy^yZ^); soient aussi {Xyt/yZ) les coordonnées d'un point commun à F et à A ; nous avons alors :

a + Xx, g + Xy, YH->v3, • avec la condition :

/*(aH->^,, g4->.y,,Y l-A3:,)r:o.

En développant le premier membre par la formule de Taylor, et en remarquant que /"(a , P , y) est nul, on a :

C*est une équation du degré m, en X, qui a une racine DuUe et qui n'en admet pas d'autre, si Ton n'a pas :

du moins pour des valeurs arbitraires des paramètres x^ et y^. Le point M, en résumé, est donc un point multiple, ou un point simple, suivant que ces conditions sont, ou ne sont pas, vérifiées.

lB4t. Théorème. Lorsqu'on transporte^ parallèlement à eux-mêmes, les axes des coordonnées, la nouvelle origine étant un point simple d^une courbe F, i° les termes du premier degré ne disparaissent pas toits les deux; a"" la tangente à V, en ce point, s'obtient en égalant à zéro r ensemble des termes du premier degré.

Remarquons, d'abord, que la constante disparait quand on transporte les axes en un point 0 d'une courbe F ; mais non

206 SEIZIÈME LEÇOxN

les termes du premier degré : la raison en est que, si ces termes disparaissaient, toute droite A passant par 0 rencontrerait F en deux points confondus avec 0 ; ce qui n'est pas possible, 0 étant un point simple. L'équation de F, dans le nouveau système, sera donc :

f (x,y,z) - ç,„ -+- ^5^^, -h . . -h (p,s'"'"' - o, en posant :

les coefficients ayby n'étant pas nuls à la fois.

En prenant les dérivées partielles par rapport à a;, y et z^ puis en faisant : â: := <>, et y = o, on voit que Téquation de la ta]:)gente se réduit à :

aX -h b\ pz o, ou à,

Tl — "•

1G4 bis. Points dUnflesLion. Supposons : i"" que les dérivées premières ne soie)itpas toutes nulles ; pour a; z= a, y— 3? j=YÎ *** que toutes les dérivées secondes /*'^„ /"''„ /"' , soient

nulles, mais non toutes les dérivées troisièmes ; le point (a,P,Y) est dit un point d'inflexion delà courbe, et la tangente en ce point est appelée tangente inflexionnelle.

Il résulte de Thypothèse que nous venons de faire qu'en cherchant l'intersection de la tangente inflexionnelle avec la courbe donnée, l'équation en X est seulement du degré tn — 3; il y a donc trois points communs à la courbe et à la tangente inflexionnelle. Cette propriété caractérise le point d'inQexion, quand le point considéré est un point simple de la courbe.

1G&. Théorème. La tangente inflexionnelle travef'se la courbe.

Lorsqu'un point supposé mobile décrit une courbe et part d'une position initiale M, il peut prendre deux directions différentes ; et, suivant que l'on considère l'un ou l'autre de ces

deux mouvements, on obtient deux bras qui> comme nous le verrons tout à Theure^ en éludiant la concavité et la convexité, sont placés, ordinairement, du même côté par rapport à la tangente. Mais, dans le cas du point d*inflexion, nous allons montrer que ces deux bras sont situés de côlés différents.

Prenons, pour axe des x^ la tangente inflexionnelle, Taxe des y étant d'ailleurs une droite quelconque, passant par le point d'inflexion.

D'après ce que nous avons vu tout à Theure, Téquation de la courbe considérée F, dans ce système d'axes, est :

ç, = o est réqualion de la tangente en 0 à F; on a donc 9j56y, avec la condition ô;^o. On peut supposer, par conséquent, que réquation (i) a été divisée par b et comme droite y =i o doit rencontrer F en trois points coïncidant avec Torigine, on voit aussi : i"" que le terme en a;* ne doit pas exister dans ç„ 2^^ que le terme en x* doit figurer dans 9,.

Fig 65.

D'après ces diverses remarques, on peut donc écrire réquation (1) sous la forme :

r« + ?r,-i + - + (Aa^'+ -) + (^wa:y+ ny*) + y - 0, (A;zf «)

Cette égalilé donne la suivante :

(2) y(n-£)-a;MA + 0

e et e' étant des fonctions entières d'à; et d'y, qui s'annulent, quand on suppose : a? rr o et y i= o.

Coupons F par des parallèles voisines de Taxe des y, {x=zh), et remarquons que, pour des valeurs positives ou négatives de A, il y a une rencontre réelle de F et de cette sécante, dans le voisinage de Torigine, parce que, pour a; — o, une seule valeur de y tend vers zéro. Cette valeur, d'après l'égalité (2) a le signe de Aco^, elle change donc de signe, en même temps que x; les deux bras de la courbe, dans le voisinage du point d'inflexion, sont donc placés de part et d autre de la tangente.

IBB. Concavité et eonveadté. Nous supposerons que l'ordonnée est une fonction explicite, continue, et bien déterminée de Tabcisse. Soit :

réquation de la courbe F que nous allons considérer. Prenons sur F un point M, que nous supposons être un point simple de celte courbe. L'équation (1) prouve que la tangente A, en ce point M, n'est pas parallèle à Oy et, dans ces conditions, nous nous proposons de déterminer de quel côté de la droite A sont placés les deux bras de courbe qui aboutissent au point M.

L'étude de la courbe, dans le voisinage de M, se fait par la discussion du signe de la différence des ordonnées de F et de A, ordonnées correspondant à la même abcisse; la valeur de celle-ci étant voisine de celle de l'abcisse x^ du point M.

Posons :

OP-iC„ MP--:y. ; réquation de A est :

Donnons à a? la valeur j?,+ A, rordonnée correspondante de 1 est fournie par régalité :

SP' - y, -h hr (X.) = /-(x.) -h hr (X,). D autre part, ona, par une formule connue, (Alg. § 297)