SM

r(^i-hôA).

Supposons d'abord que nous ayons r (^1) ;2^ » ; alors, pour des valeurs de h suffisamment petites, et variables, r [x^ -4-ÔA) aie même signe que r{x^. Si nous avons /^ (j?,) > o, les

Fig. 66.

deux bras de courbe sont disposés comme l'indique le trait plein de la figure. Le trait ponctué correspond, au contraire, à l'hypothèse r (^1) < ®- ^^^^ l© premier cas on dit que la courbe tourne sa concavité vers la direction positive de Taxe des y ; dans la seconde hypothèse elle tourne sa convexité vers cette direction,

DbL. TombII. i4

Il nous reste à examiner le cas particulier où Ton a f{x^)zzo et nous allons reconnaître, qu'en général, la courbe présente alors, au point considéré M, une in&exion.

En effet, dans le cas général, f" (J^,) s'annule en changeant de signe ; en passant du négatif au positif, ou inversement. Le raisonnement que nous avons fait tout à l'heure prouve, qu'avant le passage par la valeur or,, l'ordonnée de la courbe est plus petite que celle de la tangente et, qu'au contraire, après le passage, l'ordonnée de la courbe est plus grande que celle de la tangente ; ou inversement. Dans tous les cas les deux bras de courbe doivent être placés de part et d'autre de la tangente et la courbe présente, comme l'indique la (igure, une inflexion.

FJg. 67.

Ainsi les points d'inflexion s'obtiennent en cherchant les solutions communes aux deux équations y zz f(x) , r[x) :=. o. On doit observer que la réciproque n'est pas exacte, et que, à toute solution de ces deux équations, ne correspond pas, nécessairement, un point d'inflexion.

Dans le cas où f{x) représente une fonction entière, on vérifie facilement les résultats précédents en transportant l'origine au point M et en remarquant que la tangente s'obtient en égalant à zéro l'ensemble des termes du premier degré.

IBlf. Hessien des pointe d*inllexion« Les points d'inflexion, dans le cas des fonctions implidtes, se déterminent au moyen d'un déterminant symétrique du troisième ordre que nous allons calculer.

Soit:

f{x , y) - (I, réquation de la courbe proposée. On a d'abord :

rx{'^,y)-\'y ry{x.y)zzo.