Premier «sas. (Équation résoluble

On considère un cercle A et un diamètre fixe OA ; sut A

on prend un point mobile M et après avoir mené par C une

perpendiculaire à OA, on prend : MI = Ml' = CM ; trouver le

lieu U décrit par les points I et V.

Cherchons d'abord l'équation polaire de U ; et remarquons,

à cet effet, que CI est la bissectrice de MOA. Nous avons donc

OXzzfzz, aOM cos w, et CM =d cos aw. •

GIS TRENTE-SEfTIËUE LEÇON

Ainsi réquatioa cherchée est

f-=.'id C03 u cos au, ou, en coordonnées carlésieimes,

(A) (x* + yT=a'^(«'-y')- Cette équation développée, et ordonnée par rapport à $', peut s'écrire :

(A,) y* + ay'x tx -f- rf) + a;' (x— arf) = o.

On a d'abord,

et si l'on prend AB = OA, la courbe est située toute entière à la gauche de DD'.

D'autre part, on doit avoir

a:'{ar + d)' — a^(« — ad)> <>•

4' de EE'.

D'après la construction qui donno le point I, on peut soop-

çonner que U est renfermée entre les deux droites DE, D'E'; et Ton vérifie, en effet, que l'équation peut se mettre sous la forme :

(A.) (y* - R*) Ix'-hix^nyl-h {x' - 2Rx^ R'/ = o. On doit donc avoir

et les droites DE, D'E' sont doublement tangentes à la quartique que nous étudions, aux points i et 2, obtenus en décrivant un demi-cercle du point P, comme centre, avec PO pour rayon.

Pour toute valeur de a?, comprise entre et o, l'^ua-

tion (A,) admet quatre racines réelles ; elle n'en a ^s que

deux, pour les valeurs de x qui varient entre o et 4fi.

L'origine est un point triple; les tangentes en ce point sont : 1® les bissectrices OP, OP'; a« Taxe Oy.

La rencontre de U avec A, a lieu en F, OGFA étant le demi*hexagone régulier inscrit dans le demi-«ercte OPA. Ce résultat se vérifie facilement^ en supposant que le point M est placé en G.

Le point 3, point de contact de U avec EE', se trouve placé précisément sur F6. On le reconnaît, d'abord, en faisant

X zz. ,

dans (A) ; on le voit aussi en appliquant la remarque générale que nous allons faire pour tracer une tangente quelconque à la courbe U.

A cet effet, considérons une transformation de' figures planeSy d'après la loi suivante.

Soient 0 un point fixe, et M un point quelconque; on joint ÔM et par M on mène une droite M^x égale à OM et parallèle

à une direction fixe ox. Lorsque le point M décrit une figure /, 1* décrit une figure correspondante ç. Telle est la trans^ formation que nous imaginons, et Ton voit que la quartique que nous venons de construire est, dans cet ordre d'idées, la transformée du cercle A.

Fig. i56.

Si nous prenons sur f un point N et si nous c onstruisons

le point correspondant v, les triangles semblables RM^, RNv, donnent :

RM M|A

RN ■" Nv'

ou,