CC"* = C'A. C'B

En décrivant sur AB comme diamètre une demi-circonférence, et en lui menant par le point C une tangente, on aura la longueur (uC Le point C se trouve ainsi déterminé. On obtient de même les points A' et B', et la direction des diamètres est la droite A'B'C, ainsi construite. On doit observer que les points A'B'C, déterminés comme il vient d^ètre dit, sont au nombre de six. Mais ils sont, pour des raisons géométriques faciles à donner, trois à trois en ligne droite/, ils forment donc un quadrilatère complet, et le problème en question admet quatre solutions en prenant, successivement, les quatre côtés de ce quadrilatère pour la direction des diamètres.

Nous allons maintenant examiner quelques problèmes ana-

TRENTE-SIXIËME LEÇON

logues à ceux que nous venons de traiter, mais en supposant que la conique considérée admette un centre.

88S. Problème XIII. Construire une conique connaiisant trois points A, B, C; et le centre 0.

Soit I le milieu de BC ; la droite 01 rencontre AB en P, et BC en Q. La polaire de P passe par le point Q, et si Ton désigne par H, Textrémité du diamètre conjugué des cordes parallèles à BC, on a

ÔH* = OQ.OP.

Par le point H, menons une parallèle à BC et traçons par le point 0 i"" une droite OM passant par le milieu de AB ; a* une droite ON parallèle à AB ; OM et ON représentent deux dia-

mètres conjugués et si OH' représente le diamètre conjugué de OH, nous avons (§ 3i3)

ôh'*=mh.nh.

En résumé, nous connaissons, en grandeur et en direction, deux diamètres conjugués de la conique, et nous pouvons considérer le problème proposé comme complètement résolu S 3i4).

Fig. i5o.

9HS. Problème XIV. Construire une conique connaissant trois tangentes et le centre 0.

Soit ABC le triangle formé par les trois droites données ; si, par le point 0, on trace OM parallèle à AC, et ON parallèle à ABy la droite OA partage en deux parties égales la droite MN. On peut conclure de cette remarque que la droite qui joint les points de contact inconnus de AB et de AC avec la conique cherchée, est parallèle à MN (§ a6i).

En appliquant cette remarque, successivement, aux sommets A, B, C^ on voit que la détermination des points de contact

TRENTE-SEXIÊME UZÇON

s'obtient en résolvant ce problème élémentaire : inscrire^ dan$ un triangle donné, un triangle dont les côtés soient paraUèta à des directions données.

Fig. loi.

On est ainsi ramené au problème précédent.

88&. Problème XV. Construire une conique connaissant cinq points (A, B, C, D, E).

On peut d'abord construire la conique^ point par point, en •appliquant le théorème de Pascal. Mais nous voulons indiquer,

il'

Fig. i5j.

particulièrement, comment on peut déterminer le centre <ie la courbe.

Soit menée par le point A une parallèle à CD, et soit M le point inconnu où elle rencontre F. Le théorème de Pascal prouve que la droite PQ est parallèle aux cordes CD et AM. Le point P étant connu, on voit comment on peut déterminer M, et, en général, le point de rencontre de F avec une transversale quelconque menée par A. Si Ton joint les milieux I, J, des cordes CD/ AM, on a une droite qui passe par le centre. Cette construction repétée une seconde fois (au point B, par exemple) donnera un second diamètre, et le centre se trouvera ainsi déterminé.

Nous indiquerons encore comment on trouve la tangente en un point de la conique déterminée par cinq points.

Fig. iV3.

Soit A un point d'une conique F, dont on connaît quatre autres points B, C, D, E ; supposons le problème résolu, et soit TT' la tangente à F, au point A. Si Ton considère l'hexagone inscrit dont le premier côté est la tangente TT', on voit, par application du théorème de Pascal, que la tangente TT' passe par le point de rencontre du côté CD avec la droite connue A; par suite TT' est déterminée.

880. Problème XWl. Construire une conique, F connaissant cinq tangentes.

En appliquant le théorème de Brianchon au pentagone ABCDE et en considérant^ à cet effet, la tangente CD comme une droite double, constituant Tensemble de deux tangentes coïncidentes issues du point de contact de CD et de F, on voit que ce point A' est déterminé, comme Tindique la figure.

On peut trouver ainsi les cinq points de contact, et il est possible de déterminer le centre de F comme nous ravons expliqué tout à Theure. On peut aussi observer qu'après

avoir trouve les points de contact A',E' le centre de F se trouve sur la droite CZ qui va, du point C, au milieu M de

Enfin, nous signalons, aux exercices 4 et 5 de cette leçon, une solution des problèmes XV et XVI basée sur la considération des points et des transversales réciproques.

t. Contiruire une hyperbole connaissant ttvis points A,B, C, et asymptote A. .

On remarquera que la seconde aftyniptoie est la transversale réciproque île A, par rapport au triangle ABC.

S. On considère un triangle rectangle AOB ; soit M un point mo^k svr l'hypoténuse, on Joint CM et au milieu de cette droite on élève une perpendiculaire qui rencontre la parallèle menée par M à OB, en un painl I : trouver le lieu décrit par ce point h

Ea preDaol OA pour axe des or, et OB pour axe des ^ ; à la droite AB qm a pour équation :

on fait correspoDdre une hyperbole H. On trouvera que celte hyperbole coupe ox eu deux points qui sont les projections, sur cette droite, des bissectrices en Oi On trouve aussi que H passe par le milieu de OB et que la parallèle menée par Aà OB est une asymptote. On peut alors appliquer les résultats de l'exercice précédent. -

8. Construire une hyperbole équilatèrc H connaissant quatre points A,B, CD.

Les cercles des neuf points des triangles ABC, ABD, BCD, ACD coucourent en un point 0 qui est le centre de H. Si l'on prend le milieu a» de AB et si de co comme centre, avec a>0 pour rayon on décrit un cercle, il rencontre AB aux points T, T/ ; OT et OT' sont les asymptutes.

(^tte construction est en défaut qnaud on donne pour le quatrième point D, le centre des hauteurs du triangle formé par les trois autres points A^B, C. Dans ce cas les quatre cercles des neuf points coïncident . et l'on s'explique facilement cette indétermination en observant que toute hyperbole équilatère passant par trois points passe aussi par le centre des hauteurs du triangle.

4. On considère un triangle ABC et un point fixe M ; autour de M, on fait tourner une transversale A et Von prend la transversale réciproque A' (§ i8). Démontrer !• que A^ enveloppe une conique (jl, j» que le centre 0 de celte conique, le point G, centre de gravité du triangle ABC, et le point M sont en ligne droite ; 3® que Von a 2OG =r GM.

Déduire de cette remarque une solution du problème XVI de cette leçon.

5. Soit ABC un triangle et soit M un point dans son plan ; on joint AM, cette droite rencontre BC en un point A' et Von prend le point A" symétrique de X', par rapport au milieu de BC.

Les trois droites AA", BB'', CC" ainsi construites concourent en un point M'.

Appelons points réelproqoes les points M, M/, gui se cotrespondent eVaprés la loi géométrique que nous venons d'énoncer, et quit en effets sont tels que si .\|/ correspond à M, réciproquement M correspond à M'.

Cette définition étœit donnée, on suppose que M soit mobile sur une droite A, démontrer 1» que la réciproque M' décrit une conique A' ciixonscrite au triangle de référence ABC. a'^uc les tangentes à ù^' , rencontrent les côtés du triangle ABC en trois points qui appartiennent à la transversale réciproque de A, 3° que si Von considère la conique y qui est inscrite au triangle ABC, aux points A", B»Cf, le centre ta de y, le centre de gravité G de AUC et le point M sont trois points en ligne droite; ^o que Von a : ioiG =GM.

Déduire de ces propriétés diverses une solution du problème XV de cette leçon.

La solution des problèmes XV et XVI résulte très simplement des théo"

De L. ToiïE U. 34

rèmes qae nous venons d'énoncer dans cet exercice et dans rexemoe précédent.

Si l'on a cinq tangentes; on peut en considérer trois qui forment un triangle ABC ; il reste deux droites et Ton prend leurs transversales réciproques par rapport à ABC. Ces transversales se coupent en un point M. On obtient autant de tangentes que Ton veut en prenant lo des transversales passant par M, 9"* leurs transversales réciproques. Enfin le centre s'obtient en joignant le point M an centre de gravité de ABC et en prolongeant celte droite d'une longueur moitié moindre.

Si Ton donne cinq points; on prend troii d'entre eux pour former le triangle de référence ABC. Puis on considère les deux autres points D, E et Ton prend leurs réciproques D', E'. En prenant un point M' quelconque sur D'E'y le point réciproque M appartient à la conique considérée F. Les tangentes à F aux points A, B, C se déterminent immédiatement en prenant la transversale réciproque de D'E/ et en joignant les points où elle rencontre les côtés du triangle ABC, aux sommets de ce triangle. Connaissant trois tangentes et les points de contact, le centre se trouve déterminé par rapplicalion d'une propriété connue (§ a6i).

CONSTRUCTION DES COURBES. (Coordonnées

Cartésiennes.)

Nou3 abordons maintenant le problème suivant : étant donnéey en coordonnées cartésiennes ^V équation d'une courbe; indiquer^ par un tracée la forme générale de cette courbe et ses principales singularités»

Quelques exemples feront comprendre, mieux que des aperçus généraux, comment on traite ce problème, dans les cas simples où il se présente ordinairement.

L*équation de la courbe proposée étant

f{x,y) = Oy

il peut arriver : i" que f soit une forme entière, résoluble par rapport à Tune des variables; a® que f soit une forme entière, non résoluble ; 3* enfin que f représente une forme irrationnelle et même une forme transcendante. Nous examinerons successivement ces différentes hypothèses.