I . La plupart de ces eipreesioDS sont dues à Newton

Branche hyperbolique. .

Branche parabolique pure.

Première espèce.

(iDscrite.)

Deuxième espèce (Mixte.)

Troiiiièmc espèce.

(Circonscrite.)

Simplement. •

Branche parabolique intléchie.

Doublement. .

Fig. 166.

Kig. 167.

Fig. 16H.

Branche mixte

db l. tovb n.

Preniier geure. •

Branche hyperbolique aplatie.

Deuxième genre

Fig. ro.

Ovale

Fig. 171.

Folium.

Fig. 17J.

f. On considère deux axes rectangulaires, ox, oy\ et sur ces droites deux points mobiles P et Q, tels que Von ait: OP + OQ = A; démontrer que U lieu décrit par la projection du point 0 sur PQ est une strophotde.

ft. Deux points mobiles ^ et Q, sur deux axes rectangulaires ox, oy, sont tels que Von ait ; OP* = a. OQ; démontrer que le lieu décrit par la projection du point 0 sur PQ, est une dssoîde.

S. Une droite PQ détermine avec deux axes fixes, rectangulaires, nn triangle OPQ de surface constante; démontrer que le lieu décrit par la projection du point O sur PQ est une lemniscate»

4. On donne deux droites rectangulaires ox, oy, et un point fixe A; p«r les points 0 et k on fait passer une infinité de cercles; soit A l'un d'entre eux et soient P et Q les points communs à à et aux axesé Démontrer que le lieu des projections de 0 sur PQ est une strophoïde.

1. La plupart de ces exercices ont été cboisia de façon à foire connaître quelques-voesdei formes les plus importantes des courbes du troisième ordre. Les formes diterses des cabtqso et les variétés qu'elles comportent ont été distinguées par Niwto», puis per PiiicKsa. Lev nombre est très considérable. Plucksr, dont la classification parait complète, a Xnm^i i')0 formes diverses de cubiques.

EX£HCiC£S 343

%^ On considère un cercle A et sur ce cercle un point fixe 0. Soit fiC une vorde fixe parallèle au diamètre guipasse par le point 0. Par 0 on mène une transversale mobile gui rencontre BC en D et le cercle A en A ; puis, par A, on mène une parallèle et, par D, une perpendiculaire à BC. Ces droites se coupent en un point I dont on demande le lieu yéométrigue.

L'origine étant 0, Taxe ox étant parallèle à BC, et les axes étant rectangulaires, on trouve :

dd'x (0 y = 3r

d' désigne le diamètre du cercle et d la distance de 0 à la corde BC.

La cubique (i) a pour centre Torigine ; elle a la forme d*une branche serpentine.

• . On imagine des conigues circonscrites à un rectangle et oh leur mène des tangentes parallèles à une direction fixe A; trouver le lieu des points de contact.

L'origine étant au centre du rectangle, les axes étant parallèles à ses côtés, on trouve :

x{t/* — b*) — my (x* — a*) — o.

m est le coefticitiut angulaire de A, ja et àI/ désignent les longueurs des côtés du rectangle. La cubique est formée d'une branche serpentine passant par Torigine qui est le centre de la courbe. Elle passe parles sommets du rectangle et, en ces points, la tangente est parallèle à A. Les asymptotes (§ i55] correspondent aux équations :

xzzoy y zzOf yzz rnx.

Ou distinguera le cas où m = - et on pourra généraliser cet exercice en

remplaçant le rectangle par un quadrilatère quelconque. Eu désignant par ; •

Pno, Q=:o, Rzro, S;=:o; lea équations des côtés du quadritatèi'e, l'équation du lieu, a la forme :

9. On considère des conigtiei inscrites à Vangle droit yox et gui sont telles : i« gué le diamètre conjugué des cordes parallèles à ox coupe oy en un point fixe B, (OB =6); 52° gue le diamètre conjugué des cordes parallèles a oy coupe ox en un point fixe A, (OA = a); trouver le lieu des extrémités des diamètres conjugués de la direction AB.

On troave Téqualion

(x . yV (X . y \ , ^y ( ^ y\ ^

La courbe correspondante est formé de deux branches mixtes se coupant à l'origine.

L'asymptote A a pour équation

La courbe a une inflexion à Ilnflni et les points de cette courbe qui sont situés entre A et la parallèle ÂB proviennent des hyperboles du réseau des coniques considérées.

8. On considère une corde AB d'une parabole rapportée à ses ojces, H Von suppose que les tangentes aux extrémités de cette corde rencontrent k tangente au sommet en des points distants l'un de Vautre, (tune longueur constante et égale à l. Trouver le lieu décrit par le pôle normal de cette corde.

Ou trouve pour l'équation du lieu :

27p\ ^ 2P/ \ PJ

La courbe est formée d'une branche parabolique avec un folium ; sa rencontre avec la parabole donnée a lieu sur la droite qui correspond i l'équation :

iC = 3p -h — .

9. Autour du sommet 0 d'une parabole P, on fait tourner un angle droit AOB; trouver le lieu décrit par le point de rencontre de la corde AB, ohc la bissectrice de Vangle AOBi

La courbe est une cubique ayant la forme d'une branche atropholdak ; elle correspond à l'équation

tO. On considère deux coniques U, V homothétiques, tangentes à ox è C origine, et des coniques doublement tangentes à chacune d'elles. Par unpoàd P de ox, on leur mène des tangentes. Lieu des points de contact (DP = d).

(Concours académique de Poitiers *— i9f7)

Soient S :^ o, S' =^ o, les équations des deux coniques U, V. L'équation générale des coniques doublement tangentes à U et à V est

Q* — SIX (S + XS') + |**P' = 0.

DaDB cette équation X est une des racines de i*éqnalion en X qui correspond aux coniques proposées ; \l est un parallèle variable et l'on suppose que l'on a

PQsS— XS',

En prenant pour axe des y le diamètre des coniques U et V qui est conjugué de ox, on a

S six^-hAy^-h 2cy S' s: rc* -h Ay* -h ^c'y.

L*ôquation en X donne une racine simple, X' = i ; et une racine double,

ir« Hypothèse (X=: i). L'équation du lieu est :

{x^ + Ay") \^dX'h{C'hc')y\zz2 {d^x' — ccY) .

j* cas, À>o. Cette cubique admet deux formes différentes ; si ox laisse les ellipses S, S', du même côté, on a une cubique ayant la forme d'une branche stropholdale.

Si, au contraire, les deux ellipses sont placées de cotés différents, par rapport à oa; on a une cubique formée d'une brancbe conchoîdale ; l'origine étant an point double isolé.

a» cas, A < o. Los trois asymptotes sont réelles. TI y a trois branches hyperboliques, dont l'une présente un nœud quand on suppose ce' > o.

a* HTPOTHàsR (x = -J. On trouve une conique qu est homothétique aux

proposées.

il. On considère une parabole P et un diamètre A de cette courbe; soit A un point mobile sur P : la normale à P, en A, rencontre à au point B,' trouver le lieu décrit par le milieu de XB,

L'équation du lieu, les axes de coordonnées étant ceux de la parabole,

est

(ay— A)' — ap'(^ — y) "" 2p (ay — h)

h désignant la distance de Taxe à A. La cubique qui correspond à cette équation est formée de deux branches mixtes dont Tensemble constitue celte forme à laquelle on a donné, quelquefois, le nom de trident,

tft. Appelons puissance d'un point M par rapport à un triangle ABC, le produit des perpendiculaires abaissées de M sur ses côtés; on demande le Heu des points dégale puissance.

Ce lieu est une cubique U qui affecte différentes formes suivant la valeur choisie pour la puissance.

r;46 TRENTE-HUÏTIÈME LEÇON

Les trolfl cAtés du triangle sont des asymptotes de U ; et les médianes dt* ce triangle sont les diamètres des cordes parallèles à ses cotés. On ezpliqo^ facilement ce fait remarquable par des considérations géométriques.

18. On donne detir droit t^f^ rectangulairex ox, oy; sur or deux points fixes A, A',

OA =0A' -a\

par ces points A, A' on fait passer un cercle A et ton mène à ce cercle h< tangentes AR, A'R ; enfifi on joint le point R d un point fixe P (ot, p). Troutfr le lieu des points communs à ^ et à PR. Le lieu est la cubique U qui correspond à Féquation

{x' + y' — a'j (ay — ^) = ^a'y (a: — a).

L'asymptote a pour équation

La courbe a la forme d'une branctie serpentine. Elle présente une inflexion à l'infini et, par conséquent, prend la forme concboldale. quand le point P est situé sur la lemniscate qui correspond à l'équation

p ZZ 9.a COS 2(0.

14. On considère deux diamètres conjugués fixes OA, OB, d'une ellipseT: par les extrémités A, B on mène deux cordes parallèles AA', BB'; trouver le lieu déctnt par le point de concours des droites BB' et OA',

Le lieu est une cubique formée d'une branche stropboldale ; en posant oA = «', oB = 6', et en prenant oA et oB, pour axes de coordonnées, elfr a pour équation

b'*af y{y — br a'* "^ 2b' — y '

%S. On considère deux droites rectangulaires ox, oy; el^ sur or deux points fixes A, A',

OA=:OA'=a;

par les points A, A' on fait passpr des coniques V , homolhétU/ues à une ronique fixe ayant pour équation

ar' + QB"iPy-+-Ay-h... =0.

Du point O, on abaisse des normales sur T, trouver le lieu décrit par le pied de ces normales.

On trouve pour le Heu cherché, réqnation

2B V H- (2 — A') xy* -f- af — a'xzzo.

En posant

on rcconnait qu'à cette équation correspondent trois formes de cubiques suivant le signe de u.

1» Si u est positif, la courbe est formée d*une branche serpentine ;

2<> Si u est négatif, on trouve une branche serpentine et deux branches hyperboliques inscrites ;

3* Enfin, si Von a t/ = o, la courbe est constituée par deux branches hyperboliques inscrites et une branche hyperbolique aplatie, du second genre.

%%, Construire les cubiques qui correspondent aux agitations suivantes :

y' -+- x' — y* -f- a; zz o. (Branche serpentine)

Une branche hyperbolique inscrite.

L ^ , % — circonscrite.

aplatie du premier genre.

(y — i)"(ay-f-i— a?)z:A'(i — x) \h::zi L'axe des x et une hyperbole.

Deux branches hyperboliques inscrites.

^ 'Une branche hyperbolique aplatie du second genre.

A <^o Branche parabolique avec un foliam.

h'^o Branche parabolique avec un point fty' zr a (a? — i )* (A — 2x) { double isolé.

A := a Branche parabolique avec un rebroussèment de première espèce.

Deux branches mixtes asymptotes à la droite

(Deux branches mu lo

«T. Construire les quartiques qui correspondent aux équation* suirantes :

2» y*— a?* -ha/y' = 0.

30 x' + xY — iSafy -f- 9y* = «•

50 y4 | 2^j^« ^ aSaj* — a^ = o. 6* y^-hx^ — a?rzo.

70 /p» 4xV -+- y* = o.

!• U courbe a la forme d'une ovale ; on étudiera avec soin sa sinuosilé ; elle est renfermée entre les tangentes parallèles à oy dont les points de

conUct ont pour ordonnée -et entre les tangentes parallèles à ox dont le* poinU de contact ont pour abcisse 7. Il y a une Inflexion aux points de

rencontre de la courbe avec les axes ;

a» La courbe est formée de deux branches hyperboliques inscrites dans Vangle formé par les droites qui correspondent aux équations :

y + x-h- = o, y — ic^-zro;

3» Ln forme, de la courbe est celle d'un double folium présentant à r6rigine un point d'embrassement ;

4<> (Test encore un double folium, l'origine est un point triple ;

5" Cette quartique est formée de deux branches hyperboliques asymptotes aux bissectrices des axes ;

S"" On trouve un ovale et une branche parabolique pure ;

7<> La courbe est composée de quatre branches hyperboliques de première espèce. — Pour préciser leur tracé on déterminera le cercle qui a son ceotre à l'origine et qui est tangent à ces quatre branches.

48. On donne une ellipse fixe V, soit 0 le centre de T et soit MM' une corde principale mobile perpendiculaire au grand axe. Par les points M, M' on fait passer une parabole P ayant son sommet en 0, et l'on trace une tangente commune A , aux courbes Vet P; trouver le lieu des points de conta€t .de ? et de à.

Le lieu cherché est la quartique qui correspond à l'équation

a?y = ay-+-46V.

%9. Construire la courbe qui correspond à Véquation

y* — ^x*y -+- x* ir o.

Cette courbe est formée d'un folium A bras paraboliques et Torigine est no

point double présentant cette particularité qaç^ des deux branches qui passent par ce point, et qui sout mutuellement tangentes, une d'elles présente une inflexion.

SO. Construire la quartique qui correspond à Véquation

y- ^of + iT

Pour faciliter la discussion, on résout cette équation par rapport à x*, M. On demande de construire la courbe U qui correspond à Véquation

et de distinguer les différentes formes que peut affecter U. On observe d*abord que l'on a

Trois cas doirent être distingués suivant que la quantité 1 v -| 1

est positive, nulle ou négative.

i"* Dans le premier cas, on étudiera la sinuosité de la courbe en remarquant que l'équation y' = o, revient à celle-ci :

lit 1

+ :rT-, + . = «>•

X »-+-« a?-|-6 ' x-hoL-\'6 Dont les trois racines sont :

a** Si Ton a y ^ — 1& courbe est formée de deux cubiques symé-

triques par rapport à ox. L'une de ces cubiques est formée de deux branches ' hyperboliques simples et d'une troisième branche hyperbolique, aplatie, du premier genre.

3" Enfin si y est plus petit que-7-, on trouvera encore & distinguer des

formes diverses de courbes suivant que

:i:;o trente-huitième leçon

o9t positif, nnl, ou négatif.

SS. On consid^ê In sinusoïde f courbe qui correspond h Véqtmtion

y zz sîn X.

On propose de transformer cette équation au moyen des formules

y zz Y, XX zz 1,

et de déduirCf de la forme connue de la simisoïdè^ celle de la cow*be trans* formée, U.

A chaque spire de la sinusoïde correspond une spire de U, on considérant les spires de la sinusoïde qui s'éloignent de plus en plus on a, dans U, des spires correspondantes qui se rapprochent de plus en plus d<» Taxe oy.

On remarque aussi que la construction très simple de la tangente en dd point de la sinusoïde entraîne la connaissance de la tangente, au point correspondant de U. (Lee. 16 ; ex. 1.)

S8. Étudier, dans le voisinage de V origine, la courbe qui a pour équation

y zz\i ^ X — 1 — ax*.

Z4, Construire la courbe qui correspond à l'équation

y -=. \/a;*— i — y ic* — 1 et vérifier qu'elle a quatre points doubles isolés ayant pour coordonnées