Deuxième exemple. On considère une ellipse E

rapportée à ses axes ; soit M xin point pris dans son plan ; la polaire de M rencontre les axes en des pointsV^ Q ; st, par ces points, on mène des parallèles aux axes, on obtient un point R. On propose de trouver le lieu de M, sachant que la droite MR

passe par un point fixe F ; (a,P).

Soient rt^oy j/o» les coordonnées de H, la polaire PQ a pour équation :

I. Voyez, aux exercices de celte leçon, une généntlion du FoUum, par des droites et des cercles.

CONSTRUCTION DES COLBBES

En esprimaat que celle équation est vérifiée par : j; = a , y =: t ; puis en rendant x„ y„ coordonnées courantes, on a l'équation du lieu :

(i) x(« — «)(îf' — 6*) = y(î/ — 6j(a:' — a').

La courbe qui correspond à celte équation estunecubiqu«; les ases de l'ellipse, les tangentes en ses sommets, et les pa-

Fig. iM.

rallèles à ces droites menées par F, séparent le plan en régions, comme l'indique la figure.

Si par l<a point F on mène à J'ellipso les langcnlcs FA, FB,

la droite AB rencontre les axes aux points C et D et les droites A, A', menées par ces points, parallèlement aux axes, sont deux asymptotes de la courbe.

La troisième asymptote a pour équation :

a* (6y + b*) = 6*(aa; -*- a*),

C'est la droite A'^ qui, comme le montre la figure, est parallèle à OF et passe par le point J' symétrique du point de rencontre J, des asymptotes A, A'.

L'équation (i) permet de vérifier facilement que les tangentes issues de F à la cubique ont pour points de contact les sommets du rectangle construit sur les axes (*).

Finalement, le point F étant placé comme Findique la figure, la cubique a la forme générale que nous indi({U0DS.

f . On considère la quarliqite gui correspond à Véquaiion :

y* — ixy^ [x -j- 4i?) + ir* n o..

i« Trouver la forme générale de cette courbe;

3« Vérifier que le lieu des milieux des cordes parallèles à OY est formé de la parabole P, qui a pour équation : y* — 2px = o ; et cf e VHyperboie équilatère^ correspondant à l'équation : y*^ai*— apx = o.

30 Montrer que si, sur la corde parallèle à OY et qui a son milieu sur P, comme diamètre^ on décrit un cercle, ce cercle passe constamtnenl par l'origine.

4*^ Déduire de cette remarque (y. § 387}, une construction simple de Id tangente à la quartique proposée,

%, Démontrer la propriété suivante : Pour déterminer la tangente en un point M d'une courbe géométrique, d'un degré quelconque, on mine 'par ce point deux transversales MA, MA', sous des directions arbitraires; on fait les produits des segments compris, sur ces droites, entre le point M et les autres points où elles rencontrent la courbe; soient P, P', ces deux produits.

I . Ces droites n*ont pas été tracées pour éviter la complication de It figure.

Par un point |&, pris arbitrairement dans le plan de la courbe^ on mine deux transversales f parallèles aux droites MA, MA/ ; et l'on fait les produits des segments compris, sur ces transversales^ entre le point \k et la courbe : soient ic, ic/, ces deux produits.

Si l'on porte ^ sur les droites MA, MA/, à partir du point M, deux lignes

proportionnelles aux rapports : 5, —, respectivement, la droite qui joint les

extrémités de ces lignes sera pwallèle à la tangente en M. ^ Cette construction indiquée par Chasles, comme celle qu'a donnée Poa-

celfit {Journal de Crelle, tome VIII), repose sur le théorème de Camot. 8. Appliquer la méthode par régions à la construction de Vhyperbole

équilatére qui correspond à Véquation :

1/ — X*— 2xy + aay 4- 2ax — a* — 0.

On remarquera que cette équation peut s'écrire sous les formes suivantes :

i** y'-ha;* — a*z=a {x^y) (x — a) ^* y {y-- 2x-]-2a) = {x — a)* 3* y* ::z{x — a) (a?+ ^y — a).

On peut construire la courbe, point par point, de la manière suivante : on prend sur ox,oX=za et l'on imagine une droite mobile à, parallèle à la seconde bissectrice ; A rencontre ox en P et si l'on rabat PA sur A, le point obtenu appartient à l'hyperbole proposée.

4. On considère deux droites rectangulaires ox, oy et sur ox' un point fixe

A, (oA = a). On imagine une droite A parallèle à la seconde bissectrice et

coupant ox enP, oy en Q. Par A et Q on fait passer un cercle A' tangent à

PB A; A' rencontre XX/ en un point B et Von prend PR = ---»

Démontrer que 5r, par les points 0 et R, on fait passer un cercle Af, ayant son centre sur la première bissectrice, le point commun à A" et à A décrit un Folium de Descartes.

5. Démontrer que, dans la iransfw^mation visée plus haut (§ 387), les for^ mules de transformation sont :

Appliquer les formules générales à l'équation :

y* — 2px ^ o.

On trouve une cubique à nœud dont l'asymptote est une tangente in* flexionnelle.

En s'appuyant sur la remarque générale faite au paragraphe cité^ on construit très simplenient la tangente h cette cubique.

32i EXERCICES

•. Appliquer les formules précédentes à une hyperbole équilatère rapporUe à ses asymptotes.

La transformée de l'hyperbole équilatèrc est une cubique à ceutre formée d'une broncUc serpentine et de deux branches hyperboliques. Soa équation est

Y (X* — Y) zz 2m' X.

Les axes de coordonnées, et les bissectrices, donnent une séparation du plan en régions dont la considération facilite le tracé de la courbe.

V. Chercher dans l* exercice traité plus haut (§ 390) le lieu décrit par le point R.

Ce lieu est le même que celui qui a été trouvé pour M . Expliquer géomé triquement ce résultat.

Vérifier que le lieu du point M, ou du point R, peut être représenté^ indilféremment, par lune ou l'autre des équations suivantes :

(î/* - V) {xc - a*) = {x' - a') (3y - 6*).

Déterminer les différentes formes de la courbe quand le point fixe («,C) occupe des positions diverses dans le plan de Vellipse,

H, Vérifier que le folium de Descartes est de la quatrième classe ; en dé" duire que l'équation qui donne les coefficients angulaires des tangentes parallèles à Vaxe du folium est nécessairement réciproque et que, par sutU, la détermination de ces tangentes est un problème quadratique.

TRENTE-HUITIÈME LECOIN

CONSTRUCTION DES COURBES (Coordonnées

cartésiennes) (suite).

391. Lorsque réqiialion d'une courbe ne renferme que des coefficients numériques, la forme de celle courbe est bien déterminée. Il n'en est plus de même, pour les équations à coefficients algébriques. Non seulement la courbe se déforme quand on donne aux paramèlres qui enlreiil dans son équation des valeurs différentes, mais son aspect général peut èlre, suivant ces valeurs, complètement modifié. Des asymploles qui étaient réelles, peuvent devenir imaginaires, ou èlre rejelées à Tinfini; des points multiples qui formaient des nœuds, peuvent devenir des points de rebroussement ou des points isolés, etc.; Téquation peut même, dans certains cas, se décomposer en fadeurs rationnels.

11 y a donc à faire, pour les équations algébriques, une étude particulière; élude parfois délicate, et qui a pour but de rechercher les formes différentes que peut affecter la sinuosité de la courbe qui correspond à Téquation donnée, quand on suppose variables les paramèlres qui entrent dans celle-ci.

305S. Construction d'une courbe alg^ébrique. Prenons, comme exemple, Téqualion trouvée précédemment (§ 285),

De L. Tome II. '^^

TRFNTE-HUITJÈME LEÇON

si Ton considère le rectangle MNPQ dont les côtés correspondent aux équations :

XTZ

) 1 yy

c' Kl

jf

^ MW ^^^^"^^"^^Jl

'sJ^T-.— .—

Fig. lôij.

cl le cercle A circonscrit à ce rectangle, on voit que la courbe est complètement extérieure à ce cercle. En effet, Téquation (0 peut s'écrire sous la forme :

et cette équation rend manifeste Tobservation que nous venons de faire.

On vérifie aussi, facilement, que les sommets C, C, D, ïï, de la quartique U, qui correspond à (i), sont les sommets du losange obtenu en menant à A les tangentes aux points M, N, P, Q.

On a ainsi une idée générale de la courbe U qui a la forme d'un ovale enveloppant le cercle A, et ayant pour sommets les points que nous venons d'indiquer.

Mais, dans cet exemple, comme dans beaucoup d'autres, le point délicat est Tétude de la sinuosité de la courbe et Ton peut, dans le cas qui nous occupe; rechercher les formes diverses affectées par la sinuosité qui doit être tracée entre C et D.

Les points qui sont communs à U et à Hir sont réels ou imaginaires, suivant que Ton a :

a*>2b\ ou a*<26*.

Dans la première hypothèse, (celle qui correspond à la figure), il y a, en dehors du point C, un point commun à U et à H II', c'est le point R qui a pour ordonnée y',

En désignant par 9 Tangle que fait avec ox'la direclion inconnue OR, on a

fer* -y* £ÏÎ* ^il:j^' ' '

^ eu ^ .

On lire, de cette relation,

b = ccoso.

Le point R s'obtient donc, comme l'indique la figure, en traçant, du point B comme centre, avec a pour rayon, un arc de cercle, ce qui donne le point F ; sur OF comme diamètre, on décrit un demi-cercle , et, du point 0 comme centre, avec le rayon OB, on trace l'arc BK. La droite OK prolongée donne le peint R.

En supposant que a* ^' 2b*, on a des ovales n'offrant plus la même apparence et complètement renfermés dans le rectangle iiirir.

52S TRENTE-HUITIÈME LEQON

Pour compléter les renseignements utiles au tracé de U, il resterait à déterminer les tangentes parallèles à Oy. En posant OF = c, on trouve que la tangente double SS' a pour équation :

On peut construire cette droite de bien des façons et nous laissons au lecteur le soin de rechercher une construction

simple.

Dans le cas où air 6, le lieu considéré est un cercle. En se reportant (§ 285) à la définition géométrique de cette courbe, on se rendra facilement compte de celte particularité.

La quartique considérée correspond à la définition générale

suivante :

i« Elle passe doublement par les ombilics du plan ;

a" Elle a un centre ;

3^ Ce centre est un point double isolé.

SS8. CkinstrucUon d^uMe eoarbe eorrespondaat à une équation Irrationnelle. Proposons-nous le lieu géomélrique suivant :

On considère un cercle A e/, sur ce cercle, un point fixe k; soit BB' la tangente à A, au point k\ diamétralement opposé

à A. Par ce dernier point, on mène une transversale ACD, qui rencontre A en C, et BB' enD\du point C, comme centre avec CD pour rayon, on décrit un demi-cercle qui rencontre la perpendiculaire abaissée de G sur AA' aux points 1,1'; trouver le lieu décrit par ces points 1, 1'.

En désignant par a l'angle que fait avec AA' la transversale mobile, on a, en posant AA' s: (f,

CD — îfiiii!?

cosa *

el, par suite,

y =: d CCS a,

- . efsin'a a; =: a sin a cos a H .

On a donc

cosair

et,

L'équation du lieu, sous une forme irrationnelle, est donc

Cette équation prouve que la courbe est située tout entière entre les deux tangentes parallèles BB', ^3'; à toute

valeur de y, comprise entre H — et , correspondent

quatre valeurs de x^ deux à deux égales et de signes contraires.

En écrivant l'équation (1) sous la forme :

on voit que réquation

qui peut s'écrire

{i-yï=iy+i)

donne les ordonnées de deux poftils doubles de la courbe.

L'un, celui qui correspond à la racine positive, est un point isolé; l'autre, le point P, est réel et il se construit comme le montre la figure.

Fig. i()0.

Les points de rencontre de Ox avec la courbe se déterminent au moyen de deux cercles qui sont décrits des points Il et H', comme centres, avec AH = Air pour rayon.

En résumé, la courbe a l'aspect général qu'indique la figure.

3S4. Remarque. Supposons que l'équation d'une courbe soit irrationnelle, et qu'elle renferme notamment les expressions v/Û, et y/v ; on dit alors, ordinairement, que les conditions U > o, V > 0, sont nécessaires pour que l'on puisse trouver des solutions réelles à l'équation considérée. Mais il y a, dans cette façon de raisonner, une pétition de principe

qu'il importe de signaler ; /U, et y/v pouvant être imaginaires, sans que l'expression f (Vu, v/v) le soit nécessairement.

Nous ne faisons que signaler ici celte exception et l'on trouvera dans l'exercice proposé plus loin (Ex. 24), un exemple de cette singularité.

Nous allons montrer, maintenant, comment on étudie, autour d'un de ses points, une courbe correspondant à une équation irrationnelle. Mais, à ce propos, nous établirons d'abord un principe algébrique, très utile dans les discussions de ce genre, et auquel nous avons fait allusion précédemment (lec. i5 ; ex. 2.)

39&. Théorème. On a :

A, B, ... M étant des coefficients] dépendant de la valeur attribuée aux lettres a, 6, . , . X ; e/ s désignant une fonction de X qui s' annule j en même temps que x.

1" Démonstration. Prenons d'abord le cas le plus simple et considérons l'égalité

On peut toujours poser

mais il faut montrer que l'on a

Lim e = o , (pour a? = 0).

On a, d'abord,

i 1 1/1 \aV 1/1 \ /i , Na^'of

t>32 ITRENTE-HUITIÈME LEÇON

Pour X = 0, cette expression se présente sous la forme -.

Appliquons-lui la règle de l'Hôpital et cherchons, pour a? =z 0, la vraie valeur de Texpression :

Pour a? 1= 0, on trouve encore -, et, par une application nou-

velle de la règle de THôpital, on a :

P\jp I p\p I p\p ) \p ! (H

et ainsi de suite ; on arrive, finalement, à chercher la vraie valeur de l'expression :

pour x=.o. Cette valeur est zéro : on a donc lim e — o, poura::z:o.

Revenons maintenant au cas général et considérons l'expression

yzz\ 1 4-aiP + 13a:*+ ...+Xx''.

Posons :

nous avons alors

et nous pouvons appliquer, à cette forme algébrique, Fidentîté (a). Nous obtenons ainsi :

(L) -Hi(i-,)(a^:pa; + ... + Xa:^-*)*a:*

+ ... -4-s'af

Si nous groupons tous les termes en : a;®, rr*, ... a?**"*' a?*" ; la partie complémentaire sera formée par des termes en

x^^^x^'^^y etc.. ; auxquels il faut encore adjoindre e'a?^ En

mettant x^ en facteur commun dans cette seconde partie, nous avons donc :

(L') y = 1 -h Ao: + Baî' + ... + Mo?'' + 6a;^

es' annulant avec x puisque e' jouit de cette propriété.

2« Démonstration, On peut encore établir le principe précédent par le calcul suivant, calcul auquel nous avons fait allusion précédemment (p. 2o3), et qui offre l'avantage de ne pas s'appuyer sur la règle de l'Hôpital.

En appliquant à l'expression \-\-cf.x la règle d'extraction de la racine d'indice p (Alg., § 71.), on trouve :

(i) i + aa:-s:(i4.a, a;-ha5aî*H-... + ar of Y -^-af'^^l],

U désignant une fonction entière, et les coefficients a^ja,, ... «r se calculant, comme le prouve la règle citée, parles formules

a a* i/i \ aV /i \ /i \

* /)' i.apV/? / r!p\p I \p )

On peut toujours poser :

(2) V 1 +00? =:i + «,a: -|-a,a;'-f- ... -f-ara?**H-ar V, et nous nous proposons de démontrer que

Lim V r= 0, (pour x ■=, 0).

:>a^ TRENTE-HUTTÏÈME LEÇON

I/identité (2) donne^ d'abord,

(3) 1 -h xr s (1 -h oLiX + «jic* + ... + *'• •^'' )'*

+joa:''V('i-|-«,ir+...-l-a.a;*') + ... ;

en comparant (a) et (3), nous avons :

Dans le premier membre les termes sont en nombre fini, et. à Texception du premier, le terme pV, s'annulent tous pour xzz o; d'ailleurs, U est une fonction entière de a: ; on a donc

Lim V =: o, pour a? ir o.

80S. Remarque. Dans la formule (L'), les trois premiers coefficients A, B, C, ceux dont on a le plus ordinairement besoin dans la pratique, sont d'après (L), donnés par les formules :

899 p ApplIcMàtion. On propose de discuter y autour de rorigine, la forme de la courde qui correspond à V équation :

La variable y a une valeur bien déterminée, quel que soit x. Pour xzzoy on trouve y = o ; un bras de la courbe passe donc par Torigine, et nous nous proposons d'étudier sa situation.

D'après ce que nous venons de voir, nous pouvons poser :

(.+«r)'s.+-a:+-^3-ij— «r',

et,

CONSTRUCTION DES COi:HÇPS 5.13

Nous avons donc

Nous distinguerons trois cas suivant que Ton suppose :

Dans la première comme dans la deuxième hypothèse, la droite A qui correspond à Téquation

est tangente à la courbe^ à rorigine, et la courbe considérée est située au-dessus ou au-dessous de sa tangente suivant le signe de la quantité u^

Nous examinerons, tout à Theure, le cas particulier où u

est nul. Mais, auparavant, nous ferons encore remarquer que

a 6 si - — T, Véquation (i') prouve que Taxe des a? est tangente à la

courbe et que celle-ci est placée au-dessus de ox, ou au-dessous de celte droite, suivant que u est positif ou négatif. Pour que cette dernière conclusion soit rigoureuse, il faut pourtant

a 6 observer que Ton ne peut pas avoir, simultanément, - = - et

u ir o.

Enfin, si Ton suppose u = o, en prenant dans les dévelop-

pements de (i H-aa?)' et de (i + 6j?)* un terme de plus, on

voit que la différence Y — y change de signe avec x; la

droite A traverse la courbe, c'est une tangente inflexionnelle.

8S8. €yoarbes Éronsc^ndantes. On désigne ainsi celles

qui correspondent à des équations renfermant les trans-

TRENTË*HUmÈME LEÇON

cendantes, e , sin Xj tg x^ etc.... Les principes que nous avons indiqués pour la construction des courbes/ notamment ceux qui sont relatifs à la tangente (§ 97) et aux asymptotes (§ 147), s'appliquent, en général, aux courbes transcendantes. Ces courbes offrent assez souvent des particularités que nous n'avons pas rencontrées dans les courbes algébriques. Telles sont, pour citer les plus saillantes, 1° le point d'arrêt, aMe point anguleux, S^" un seul bras asymptote à une droite (point d'arrêt à Tinfini), 4^ une infinité de poiqts sur une droite, etc.

Fig. 16 j.

Soit, par exemple, l'équation

. sîna:

(1) y — ax-hb-^ — -;-.

En cherchant !• la limite de -, 2" celle de y — ex, (pour

0? = 00) ; on voit que ia droite A qui correspond à l'équation

(A) \-ax 1--^'

est une asymptote de la courbe. On reconnaît aussi, comme nous l'avons déjà vu (p. 199), que Taxe oyest une seconde asymptote, parce que, pour xzzo, on a

/sin x\

sin 0? , . \ a; / , , .

Lim — r- = Lina ^^ = ^> (P^^r x zzo),

Les points de rencontre de la courbe avec A ont pour abcisses, w, ^x, 3t:, ... ; — 7:, — 2^, etc.. . La courbe qui correspond à réquation (1) a donc la forme indiquée par la figure ; elle se compose de deux branches U et V coupant Tasymplole A, en un nombre infini de points A„ A,,...; Bj,Bj,...

Nous n'insisterons pas davantage sur la conslruclion des courbes ; mais nous donnerons quelques théorèmes généraux qui permettent, à l'occasion, de reconnailre que la courbe qui correspond à une équation donnée est une strophoïde, une cissoïde, ou une lemniscate.

399. Théorème. Lorsqu'une cubique passe par les ombilics du plan, si elle admet un nœud avec des tangentes rectangulaires^ cette courbe est une strophoïde [droite ou oblique).

L'équation de la cubique proposée, en prenant pour axes les tangentes au nœud, peut s'écrire

(S) {x* ^y'){mx + ny)^xy,

et il faut démontrer que la courbe correspondante est une slrophoïde.

A cet effet, reportons-nous à la génération que nous avons donnée de la strophoïde (§ 23).

Si nous prenons pour axe les droites OP, OQ (fig. i4) et si, dans ce système, nous appelons a? et y les coordonnées du point I ; les notations qu'indique la figure étant maintenues, nous obtenons :

(1) a; = ?sin (^ — ^J»

(2) 2/ = pcos(^^— .u)j.

j38 TRENTE-HUITIEME LEÇON

Nous avons aussi, d'après le triangle OAI qui est égal àOCD,

sm (a — w)

Les égalités (i) et (2) donnent, d'abord,

(4) ^xy ■=! p* sin (a — aw),

puis en les multipliant, respectivement, par cos - et sin -,

(5) a; cos - + y sin - r= p sin (a — (•>).

Une combinaison évidente des relations (3), (f), et (5}, donne

(S') 2Ra?y = (a;* -+- xf) \y cos - + y sin - ) . Cette remarque étant faite, nous voyons qu'en posant

cos - sin -

ormules qui donnent

les équations (S) et (S') sont identiques. Les valeurs de R et de a sont réelles, bien déterminées, et la proposition énoncée se trouve ainsi établie.

La strophoïde est droite, ou oblique, suivant que (m— n) est égal à zéro, ou diffèrent de zéro.

4100. Théorème. Lorsqu'une cubique passe par les ombilics du plan^ si elle admet un point de rebroussement, cette courbe est une cissoïde {droite ou oblique)*

CONSTRUCTION DES COURBES o3U

D'après rhypothèse que nous venons de foire, en prenant pour axe des x la tangente de rebroussement et pour axe des y une perpendiculaire à cette droite, au point de rebroussement, réquation de la cubique proposée est

(C) [x' -H y') {mx -h7iy) = y*.

En adoptant la génération précédemment indiquée (§ ao) pour la cissoïde, et en prenant : i* pour axe des Xy la droite AB (fig. lo), 20 pour axe des y, une perpendiculaire à AB, au point A ; nous avons :

sin*G> xzzpcosiùy yzzpsmo), et p — d

cos (a — (I))

L^équation cartésienne de la cissoïde est donc (C ) {x* + y*) (x cos a + y sin aj = dy*.

On peut identifier les équations (C) et (C), et la propriété énoncée se trouve ainsi démontrée.

4t01. Théorème. Lorsqu'une quartique U passe doublement par les ombilics du plan, si elle a, en outre, un nœud à tangentes rectangulaires et si ce point est le centre de cette courbe, celle-ci est une lemniscate de Bemoulli.

Prenons pour la génération de la lemniscate, point par |K)int, celle que nous avons indiquée plus haut (§ ag), et cherchons Péquation de la courbe rapportée aux tangentes au point double (fig. .25).

Les notations du paragraphe cité étant conservées ; on trouve :

XiZIpCOS ( W -+--f )i

y = psin^a)-f.^j et) par suite,

ixy — p* sin ( aw -h - ) = p* cos ao).

5iÛ

D'autre parlT, on a

et, par conséquent,

p* ZZ 2C* COS 2(1)

(L) ic'xy:={x* + y'j\

D'ailleurs, riiypolhèse que nous avons faite sur la quarlique U prouve que Téqualion de celle-ci, en prenant pour axes les tangentes au nœud, est

(L') m*xy=z{x* + y') .

Les deux équations (L), (L'), peuvent être îdenlifiées ; la proposition est donc démontrée.

iI09. Enfin voici, pour compléter cette leçon, quelques dénominations (') qu'il est bon de connaître et qui peuvent être utilement employées pour exprimer les formes diverses, les plus communes, affectées par les branches des différentes courbes.

BraDche serpentine.

Fig. l6:2.

Branche couchoidaie

Big. i63.

Branche stropholdale

Fig. 164.

Branche ciesoldalc.

Fig. i65.