Il n'y a pas en de concours en

un plan fixe P. On circonscrit ensuite à chaque surface S un cône ayant pour sommet un point donné A :

i*> Trouver le lieu des courbes de contact des cônes et des surfaces S :

2^ Classer les surfaces qui forment le lieu, quand on suppose le plan P fixe et le point A mobile dans Tespace.

{On déterminera^ pour chacune des variétés du lieu, les surfaces gui limitent les régions de V espace où se trouve alors le point A.)

48V6. On donne une parabole P et un point H dont la projection orthogonale sur le plan de la parabole se fait au sommet de cette parabole :

1® Trouver l'équation générale des surfaces de révolution du second ordre qui passent par la parabole P et par le point H.

20 Déterminer le nombre de celles de ces surfaces dont Taxe passe par un point A donné dans le plan Q, qui contient le point H et l'axe de la parabole P.

Classer les mêmes surfaces quand le point A se meut dans le plan Q.

189*9. On donne un ellipsoïde et un point A :

1° Trouver un point B tel que, en menant par ce point un plan guelcongue P, la droite AB soit toujours l'un des axes du cône qui a pour sommet le point A et pour base la section de l'ellipsoïde par le plan P.

20'Le problème a, en général, trois solutions : trouver pour quelles positions du point A le nombre des solutions devient infini.

3° Le point A restant fixe, on suppose que l'ellipsoïde se déforme de façon que les trois sections principales conservent les mêmes foyers, et l'on demande le lieu que décrit alors le point B.

1878. On donne une sphère S, un plan P et un point A ; par le point A, on mène une droite qui rencontre P en un point B ; puis sur AB comme diamètre on décrit une sphère W ; le plan radical des sphères S et S' rencontre la droite AB en un point M.

10 Trouver le lieu décrit par le pointM quand la droite AB tourne autour du point A.

2^ Discuter le lieu précédent, en supposant que le point A se déplace dans l'espace, le plan P et la sphère S restant fixes.

1879. On donne un hyperboloïde à une nappe et un point A. On considère un paraboloïde circonscrit à l'hyperboloïde et tel que le plan P delà courbe de contact passe par A'. Soit M le point d'intersection de ce paraboloïde avec celui de ses diamètres qui passe par A ; soit Q le point de rencontre de P avec la droite qui joint le point M au pôle du plan P, par rapport à l'hyperboloïde.

Le plan P tournant autour de A, on demande :

jo Le lieu du point M ;

20 Le lieu du point Q. Ce second lieu est une surface du second degré S, que l'on discutera en faisant varier la position du point A dans l'espace ;

3o Le lieu des positions que doit occuper le point A, pour que S soit de révolution,

1880. On donne un ellipsoïde et Ton considère un cône ayant pour base la section principale de l'ellipsoïde perpendiculaire à l'axe mineur ; ce cône coupe l'ellipsoïde suivant une seconde courbe située dans un planQ.

i<> Le sommet du côue se déplaçant dans un point donné P, trouver le lieu décrit par le pôle de R, par rapport à relUpsoïde.

s° Ce lieu est une surface du second degré ^ ; on demande de déterminer les positions du plan P pour lesquelles le cône asymptote de X a trois génératrices parallèles aux axes de symétrie de rellipstoîde.

30 Le plan P se déplaçant de façon que ^ satisfasse aux conditions précédentes, trouver le lieu des foyers des sections faites dans ces surfaces 2^ par un plan fixe R perpendiculaire à l'axe mineur de Tellipsoïde.

4^ Trouver la surface engendrée par la courbe, lieu de ces foyers, quand le plan R se déplace, parallèlement à lui-même.

i88f . On donne un ellipsoïde. On considère des droites D telles que si par chacune d'elles on mène des plans tangents à relUpsoïde, les normales aux points de contact, M et M', soient dans un même plan. 1° Démontrer que la droite D et la droite des contacts MM' sont rectangulaires; 2^ trouver le lieu des droites D qui passent par un point donné A ; 3o ce lieu est un cône du second degré ; trouver le lieu des positions du point A pour lesquelles ce cône est de révolution; 4^ trouver l'enveloppe C des droites D qui sont contenues dans un plan donné P, et trouver la surface S engendrée par G quand P se déplace parallèlement à un plan donné Q; 5» trouver pour quelle direction de Q la surface S est de révolution.

i88!2. On donne une ellipse et un point P dans son plan:

i<> Trouver le nombre des cercles osculateurs à Tellipse tels que chacune des cordes communes à Tellipse et à ses différents cercles passent par le point P ;

2° Trouver pour chacune des positions du point P combien de ces cercles sont réels ;

3<' Démontrer que les points de contact de Tellipse et des cercles osculateurs sont sur un même cercle C ;

4° Trouver l'enveloppe E des cercles G, quand le point P décrit l'ellipse donnée ;

50 La courbe E peut être considérée comme l'enveloppe d'une série de cercles qui coupent à angle droit un cercle fixe et dont les centres sont une conique. Chercher de combien de manières différentes est susceptible ce mode de génération.

1883. (V. Géom. plane j p. 635.)

1884. On donne une ellipse et une hyperbole situées respectivement dans deux plans rectangulaires P, Q et pour chacune desquelles la droite dMntersection des plans P et Q est un axe de symétrie.

10 On considère tous les plans R tangents à la fois à l'ellipse et à l'hyperbole et l'on propose de démontrer qu'il existe une infinité de surfaces du second ordre S tangentes à. la fois à tous les plans R.

2« Trouver le lieu des centres des surfaces S et déterminer la nature de chacune de ces surfaces^ suivant la position occupée par sou centre.

30 Trouver les conditions nécessaires et suffisantes pour que les surfaces S soient homofocales.