AGRÉGATION DES SCIENCES MATHÉMATIQUES

i859. Trouver le lieu géométrique des points dont les distances à deux droites données (non situées dans un même plan) ont entre elles un rapport constant.

Quelles sont les surfaces du second degré auxquelles s'applique ce mode de génération, et quelle est la situation des deux- droites à l'égard de ces surfaces ?

i860. Trouver et discuter l'équation de la surface engendrée par une parabole du second degré qui se meut parallèlement à elle-même, de manière que, dans chacune des positions de son plan, elle rencontre en

deux points une autre courbe du second degré fixe et donnée en dehors de ce plan.

1861. Étant donné un triangle ÂBG et un point P situé dans son plan, on mène par ce point une droite quelconque qui rencontre les côtés du triangle ou leurs prolongements en A', B', C; puis on prend sur cette droite un point M tel que Ton ait

PB'-t- MB' A'C

On demande le lieu géométrique du point M.

On s'assurera d'abord que l'équation du lieu contient un facteur linéaire.

18611^. Étant données deux droites non situées dans un même plan, on fait passer par ces droites un paraboloïde hyperbolique, auquel on mène un plan tangent parallèle à un plan fixe et donné. On demande le lieu du point de contact.

1863. Trouver le lieu d'une droite s'appuynnt sur un cercle et sur deux droites fixes qui rencontrent le cercle. Dans quel cas les plans qui passent par une génératrice et par les deux droites fixes sont-ils constamment rectangulaires ? Trouver dans ce cas les secondes sections circulaires de la surface.

1864. Sur le grand axe d'une ellipse, on décrit un cercle dans lequel on trace deux rayons OP, OQ faisant entre eux un angle constant : on projette P et Q en D et E sur l'ellipse : en D on élève perpendiculairement au plan de l'ellipse une droite de longueur constante h dont on joint l'extrémité au point £; lieu de cette dernière droite, quand l'angle constant POQ tourne autour de son sommet.

1865. Étant donnée une sphère, dont le rayon sera pris pour unité, et un cylindre droit ayant pour base une ellipse de même centre que la sphère, et dont les axes seront représentés par les constantes sin, a et sin, 6, démontrer : i° qu'il existe sur la sphère deux points F et F' tels que la somme des arcs de grands cercles MF et MF', aboutissant & un point quelconque M de la courbe d'intersection, est constante; 2^ que ces deax arcs font des angles égaux avec la tangente au point M.

Construction graphique des deux points F et F'; examen du cas particulier où la somme MF -4- M F' est égale à une demi-circonférence de grand cercle.

1866. 1. — On donne deux paraboloïdes hyperboliques, semblables, semblablement placés et ayant le même axe principal. On mène & l'une de ces surfaces des plans tangents qui coupent l'autre suivant des hyperboles équilatères; on demande le lieu des points de contact de ces plans.

II. — Présenter géométriquement (dans la partie du cours relative aux courbes usuelles) les propriétés principales des diamètres conjugués et des cordes supplémentaires de l'ellipse.

1867. Une ellipse et une droite étant données dans un même plan, on

propose de troayer le lieu des points tels que les tangentes menées de chacun d'eux à Tellipse interceptent sur la droite une longueur constante.

1868. Étant données dans un plan deux paraboles du deuxième degrô, on les fait tourner autour de leurs sommets supposés fixes, de manière que, dans chacune de leurs positions, leurs quatre points d'intersection soient sur une circonférence, et Ton demande le lieu du centre de cette circonférence.

f 869. On donne une série de surfaces du second ordre, homofocales et à centre : d'un point fixe P, pris dans l'un de leurs plans principaux, on abaisse des normales sur ces diverses surfaces, et l'on demande :

1» De trouver et de construire le lieu des pieds de ces normales; ■2° De déterminer l'enveloppe des plans tangents menés aux surfaces par 1p8 pieds des normales.

1871 (^). On donne trois points fixes Â,B,C: on demande de trouver le lieu des centres des ellipsoïdes de révolution pour lesquels ces trois points fixes sont les extrémités de trois diamètres conjugués.

i81S. On donne deux droites fixes A et A' qui ne se rencontrent pas; par ces deux droites on fait passer des surfaces (S) du second ordre, pour lesquelles la somme des carrés des longueurs algébriques des axes ainsi que le produit de ces mêmes longuejirs sont des quantités constantes et données.

lo Trouver le lieu des centres des surfaces (S).

2° Considérant une quelconque des surfaces (S) et le centre I de cette sur&ce, on mène par le point 1 une droite rencontrant les deux droites fixes en D et D'; calculer la distance DD'«

39 Par les points D et D', on mène des plans respectivement perpendiculaires aux droites A et A'; trouver le lieu des intersections de ces plans.

1873. On donne un hyperbololde à une nappe, sur lequel un prend une génératrice déterminée G. En un point quelconque P de cette génératrice, on mène la normale & la surface ; on suppose que cette normale, considérée comme un rayon incident, se réfléchit, suivant la loi connue, sur le plan de l'ellipse de gorge. On demande : i° la surface engendrée par le rayon réfléchi, lorsque le point P se déplace sur la génératrice G ; 2° l'enveloppe des sphères ayant pour centre le point d'incidence et pour rayon la distance du point d'incidence au point P.

i874. On donne une ellipse et une hyperbole homofocales ; on imagine une conique quelconque G, doublement tangente à chacune des coniques données. On demande de trouver et de discuter le lieu des points de rencontre des tangentes à Tellipse et à l'hyperbole aux points où ces courbes sont touchées par la conique variable G.

1875. A un ellipsoïde donné on circonscrit une série de surfaces du second ordre S, la courbe de contact étant l'intersection de lellipsoïde par