Forme rédaiÉe des équations d'ane droite. Si
nous supposons AB' — BA';zf o, les équations précédentes étant résolues par rapport à a; et à y, peuvent s'écrire sous la forme :
( x = az+p, ^ ^ \ y=bz-hq.
Ces équations sont souvent employées, à cause de leur simplicité, mais il convient d'observer qu'elles ne représentent pas Véquation générale des droites de V espace^ puisque nous avons supposé que la quantité AB' — BA' n'était pas nulle.
En cherchant les traces des plans P et Q sur le plan XOY la condition
AB' — BA' ;zf o,
reçoit une interprétation géométrique ; on voit ainsi que la droite A n'est pas, dans celte hypothèse, parallèle à XOY. Concluons donc que les équations réduites (R) représentent toutes les droites de l'espace, excepté celles qui sont parallèles au plan XOY.
4LO. Équation d'an segment de droite. {Secondes formules,) Prenons sur une droite A un point fixe Mo (a?o,yo>2o)? et adoptons pour la direction positive de A celle de la semidroite située dans la région de V espace qui, relativement au plan XOY, renferme la semi-droite OZ.
Si A est parallèle au plan XOY, sa projection sur ce plan est une dioite A', qui, conformément à la convention faite dans la géométrie plane, a une direction positive que nous adopterons pour représenter celle de A.
TROISIÈME ET QUATRIÈME LEÇOxNS
Menons par l'origine une semi-droite OP parallèle à la direction positive de A et prenons sur cette parallèle, à partir du point 0, une longueur OP = i. Nous désignerons par a, P, Y) les coordonnées de F et nous dirons qu'ils représentent les paramètres directeurs de la droite A.
Ceci posé, ayant construit, comme l'indique la figure, les coordonnées des points M et F, si nous traçons, par le point Mo, une parallèle à OX, jusqu'à sa rencontre avec le plan MCD, les droites MS et FB peuvent être considérées comme élant les intersections de deux plans parallèles FAB, MCD, par deux aulres plans également parallèles FOB, M^MS. Ainsi, les droiles FB, MS, sont parallèles et les triangles semblables OFB, MoMS, donnent
MoS MoM
OB
OP
OU
p désignant la distance Mo M en grandeur et en signe; elle est comptée positivement lorsque le mobile qui va de Torigine Mo au point considéré M, parcourt ce segment dans le sens de la direction positive ; elle est prise négativement, dans le cas contraire.
Ainsi les coordonnées {x,y, z) du point M sont données par les formules
(F') a? = a?o + ap, y = yo-f-Pp, zznz^-^^ç.
Ces relations prouvent que Ton peut représenter les équations d'une droite par les formules suivantes
tT%l\ *^ ^0^2/ ?/o Z Zq
Ces formules sont analogues à celles qui ont été établies plus haut (§ 39), mais elles offrent l'avantage de représenter, avec une notation plus symétrique, les équations de toutes les droites de Tespace.
Nous rappelons que les paramètres a, p, y? ne sont pas indépendants et qu'ils doivent vérifier la relation :
a' + P' -h Y* H- 2pY cos X 4- aya cos |ji. 4- aaP cos v zz 0.
41. Rencontre de deux droites. Deux droites A, A', dans l'espace, n'ont en général aucun point commun ; les coordonnées d'un point pris sur une droite devant vérifier deux équations, l'analyse prouve l'impossibilité que nous signalons ici, par ce fait algébrique, savoir ; que quatre équations à trois inconnues n'ont, en général, aucune solution commune.
On peut donc chercher la condition que doivent vérifier les coefficients des équations de deux droites pour que celles-ci aient un point commun.
TROISIÈME ET QUATRIÈME LEÇONS
Si ron prend les équations de A et de A' sous la forme générale :
/.viAo: -f-By -hCz
\z+D—o, , ,|Ma;H-Ny-f.P^H-Q =0,
la condition cherchée est
En partant des équations réduites :
^ ^ I y = bz + q; ^ } y-b'z+q';
on trouve
Enfin si Ton considère les équations :
on en déduit
x^Xq y — Po z — Zq
iCo — a?, + ap — a'p' zz o,
et, par suite,
yo— yi 6 ^'
49, Parallélisme de deux droites. Lorsque deux droites sont parallèles, leurs projections sur deux plans
sécants sont des droites parallèles. Cette condition est nécessaire et suffisante.
Lorsqu'on prend les équations de deux droites sous la forme réduite, les conditions de parallélisme sont donc
azza'y bznô'.
C'est pour exprimer que la direction d'une droite est bien déterminée quand on connaît les paramètres a et b, qu'on les a nommés coefficients angulaires de la droite.
Lorsque les équations des droites ne sont pas données sous la forme réduite, on cherchera leurs projections sur deux plans de coordonnées et on exprimera que ces projections sont, deux à deux, parallèles.
413. Parallélisme d*aae droite et d'an plan. Lorsqu'on veut exprimer que la droite A qui correspond aux équations
. ( A'x -h B'y + Cz -h D' r: o,
est parallèle à un plan P dont Téquation est
An? -I- By H- C^: -h D zi o ,
il suffit de vérifier que le point commun est rejeté à Tinfini. On a donc la condition suivante
ABC
Si tous les déterminants du troisième ordre du tableau rectangulaire
sont nuls, ou seulement Vvn de ceux qui renferment la quatrième colonne, on sait {Alg., § loa) que les équations proposées admettent une infinité de solutions communes. En se plaçant au point de vue géométrique, on peut dire
44 TROISIÈME ET QUATRIÈME LEÇONS
que A est une droite du plan P. Ainsi, lorsque Tégalité (i) est vérifiée ; si, de plus, un autre déterminant du troisième ordre du tableau (2) est nul, la droite considérée est située dans le plan donné.
Lorsqu'on prend les équations réduites on trouve, pour la condition cherchée,
Aa + Bô + Gzzo.
Enfin, la droite est toute entière renfermée dans le plan, si Ton a, aussi,
Ap + Bg + Dno.
44. Intersectioa de trois plans. Cette question n'est, au fond, que celle qui se propose la résolution et la discussion des équations
Kx +By +0:2 -hD izo, A'a;-f-B'y + C';2?-+-D'=o, k"x^ Wy^ G'z+ D" n o.
Ce problème a été traité en algèbre, d'une façon complète et générale. Le lecteur rapprochera, sans peine, les résultats algébriques connus et la figure géométrique correspondante formée par les trois plans.
45. Équations g^énéraies. Nous signalerons maintenant quelques équations générales souvent usitées.
1® Plan passant par une droite A. Les équations de la droite
A étant
Pizo, Q = o, réquation générale des plans passant par A est
aP4-60zzo.
2*» Plan parallèle à une droite. En conservant les notations
précédentes, l'équation générale des plans parallèles à A est
aP-l-6Q-hY = o.
3° Droite passant par un point. En désignant par oTo, y©, ^o les coordonnées du point donné Mo, les équations d'une droite passant par Mo. sont,
x — Xq y — j/o Z'-Zq
On déduit de ce résultat que les équations d'une droite passant par deux points Mo {x^yVoyZ^), M^ {x^^y^^z^)^ sont
X —Xq y ^yo z —zo Xo—x^ ■" yo— yt "" ^o— 2^
En désignant par t la valeur commune de ces rapports on a
x = {i +t)Xo—tx^, y = (i-ht)yo — ty^, z=z(i'ht)Zo — tZt
Ces formules sont analogues aux formules (F), mais elles sont moins commodes.
Dans les résultats précédents, qui exigent quelques explications trop faciles pour que nous croyions devoir y insister, ih P> ï) désignent, bien entendu, des paramètres arbitraires.
46. Théorème. Lorsque les faces (Tun tétraèdre ont pour équation, respectivement,
R-o, Siro, U — 0, V = o,
tout plan de r espace peut être représenté par V égalité
aR + PS + yU + aV =: o.
La démonstration de celle propriété, et celle du théorème énoncé au paragraphe suivant, sont tout à fait semblables à celles que nous avons données, pour établir les équations analogues, dans la géométrie plane (§ 72 et 73).
4'af. Théorème. Toute surface de Vordre m peut être représentée par V équation
/'(R,S,U,V)=:o, f désignant une forme entière et homogène du degré m.
46 TROISIÈME ET QUATRIÈME LEÇONS
». Remarque. On peut interpréter géométriquement le résultat précédent en observant que les distances $ , r^ , Ç , t, d'un point M de l'espace aux quatre faces du tétraèdre considéré sont, à une constante près, respectivement égales à R,S, U, et V. Ces nombres Ç , y; , Ç , t , sont appelés coordonnées tMraédiques du point M, et le tétraèdre correspondant est dit le tétraèdre de référence.
U résulte de ce qui précède que l'équation générale des surfaces de Tordre w, dans le sjfstème tétraédrique, est
f désignant une forme entière, et homogène, du degré m.
49. Oentre d<»s distances proportionnelles. Imaginons, dans l'espace, p points Ao, A,, ... A j-, et supposons
qu'à chacun d'eux corresponde un nombre, ou coefficient particulier ; soient ao, a^, ... a^^i, ces coefficients.
Sur A,Ao nous pouvons toujours trouver un point Pi, tel que Ton ait-
I^i Ao ^1
p, Aj «o
Prenons maintenant sur P, Aj un point Pj, dont les distances aux points P, et A, vérifient la proportion
P, A3 ao + ai
et ainsi de suite. Après [p — 1) constructions de ce genre.
nous trouverons un point P j que nous appellerons le
centre des distances proportionnelles. Nous nous proposons de calculer ses coordonnées.
Nous adopterons, à cet effet, les notations suivantes :
Kixoy.Zo), P,(X.Y, Z.) A,(a:,y,0,), P.(X,Y.Z.)
A,^, (Vi Vi Vi> Vi( Vi Vt^i^-i)-
Les formules (F') (§ 27), donnent X, Y, Z, T, i
Ces mêmes formules donnent encore Xj 1 2 ^2 *
K-fa,)X,-Ha.a;, («o-i-aJVi-ha.^, (aoH-«i)Z,-ha2^, ao-ha,4-a ou, en tenant compte des égalités précédentes,
Eq poursuivant ces calculs on trouve, finalement,
V "**'^* Y -lîii z -£!i!s^'^
