OP A, POX
a, POY 6, POZ Y,
et en projetant, sur OP, le contour brisé PMBAO, nous avons (P4) X cos a -f- y cos 6-{'Z cos y = A
C'est une quatrième forme de l'équation du plan.
341. Plans parallèles. Pour que deux plans soient parallèles, il est nécessaire que les traces de ces plans sur deux plans sécants soient parallèles. D'ailleurs, cette condition est suffisante.
Les équations des plans considérés étant
Ax -VBy +Cz 4-D =0, A'x-hB'y -h C'z-hD' = 0;
les traces de ces plans sur le plan XOY correspondent aux équations
Ax i-By +D =0, A'x + B'y + D'=o;
on a donc
On trouve, de même,
En résumé, les conditions cherchées sont :
35« Remarque. Dans la notation abrégée, si Ton désigne par P =: o, l'équation d'un plan, l'équation générale des plans parallèles est
PzzX,
X désignant un paramètre variable.
Lorsque dans l'équation (F/) on suppose que A, B, G, sont des paramètres fixes, mais que D est, au contraire, un coefficient variable , tous les plans qui correspondent à ces équations sont parallèles. La connaissance des coefficients A, B, C, fixe donc la direction du plan, et, pour ce motif, on peut les nommer les paramètres directeurs duplan. Le résultat trouvé au paragraphe précédent peut, en acceptant ce langage, s'énoncer en disant : lorsque deux plans sont parallèles, les paramètres directeurs ont des valeurs proportionnelles.
36. Plan passant par un point fixe. Soient Xo^yo^Zoy les coordonnées du point fixe proposé ; l'équation du plan cherché étant
Ao? + By + C;2?-+-D rr o,
on a
ArPo + Byo-+- C2:o -f- D =: o, et, par suite,
A (a; — a?o) -h B (y — yo) + C (^ — z^) = o.
TROISIÈME ET QUATRIÈME LEÇONS
Dans cette équation, les paramètres directeurs sont arbitraires.
39. Plan passant par deux points fixes. Si dans Téquation (P), trouvée plus haut (§ 28), on donne kx^,y^,z^, des valeurs arbitraires, le plan qui correspond à cette équation passe toujours par les points Mo, M,. Ainsi, a,p,Y, désignant des paramètres arbitraires, le plan qui a pour équation :
Xo
Vo
Zo
no,
passe par la droite MoM^. Il se présente ici, comme dans d'autres questions analogues, un fait qui mérite d'être remarqué.
L'équation générale d'un plan P passant par deux points Mo, M,, ne doit renfermer qu'wwparam^^re arbitraire , puisque, en faisant passer P par un troisième point M,, l'équation de ce plan doit être bien déterminée. Les paramètres variables «»P>y> sont donc surabondants; ils ne peuvent pas, comme on le vérifie sans peine, servir à faire exprimer à l'équation (1) deux ou, à fortioriy trois conditions indépendantes.
On peut, d'après celte observation, prendre l'équation
Xo
yo
Zo
yx
pour représenter (X étant variable) tous les plans qui passent par la droite Mo M^.
38. Équations delali^ne droite. Une droite peut toujours être considérée comme étant l'intersection de deux plans.
Si l'on suppose qu'un point M soit mobile sur une droite
A, intersection des plans P et Q, on peut donc dire que les
coordonnées de. M vérifient constamment deux équations linéaires. Nous représenterons, d'après cela, par
les équations d'une droite.
