VV V
EXERCICES
1. Les axes étant obliques, démontrer que C angle V forrué par les droites A, A' qui correspondent, respectivement aux équations :
est donné par la fofmule
COS V = i ;
en posant :
U =z a* 4- 6' -|- Y* + 267 cos X H- aya COS ^jl + ^aô cos v, U' zz: (x'* -+- 6'* -f- y'* h- 26V COS X 4- 2Y'a cos ^jl + 2a 6' cos v.
On peut établir ce résultat très simplemeut en observant qu'eu prenaut sur A le point A [oL,6,y), et sur A' le point A^ (a', 6', yO» ^^ ^
IÂ'*= (JT + ÔÂ'* — 2OA OA' COS V.
Les longueurs AA',OA|OA', s'expriment d'ailleurs par des formules
connues.
S. Établir la formule fondamentale de la trigonométrie sphérique. Soit ABC le triangle sphérique proposé, et soit le centre de la sphère
sur laquelle il est placé. Prenons OC pour axe Oz, pour origine, et AOC
pour plan ZOX ; les axes étant d'ailleurs rectangulaires.
EXERCICES
Les coordonnées de Â^ soat :
sin6, o, cos6;
et celles de B
sin a cos C, sin a sin C, cos a.
On a doue,
Cos AOB = cos C — sin a sin 6 cos C + cos a cos b.
8. Démontrer que Vanyle de deux droites dont les cosinus directeurs sont »> S> y; a', ê', y'; peut se calculer par les formules :
sin* V = (6y' — Y^O* -+- (ï«' — «ï'/ + («S' — S*'/» 4 siu* Y - (a - «r + (6 - er + (Y - y'A
4 cos' - = 1» + »'/ + (6 + 6')' + (V + yT .
4. Si a, p, Y désignent les angles qu'une direction donnée à fait avec les axes obliques, on a :
: COS a cos 6 COS Y
cos a cos 6 cos Y i
En projetaut le contour des coordonnées d'un point de A» et la résul* tante l, sur les trois axes et sur A, on a :
ic + y COS V 4- 2: cos [A =r / cos a, X cos V H- y 4- 2 cos ahz l cos 6 a; cos [x -i- y cos X -f- ^ :z: / cos y, arcos a-f-ycos6 -\- z cos y = l
Ces relations donnent la formule annoncée. On peut remarquer qu'en lus multipliant, respectivement, par x, y, z on retrouve la formule qui^ donne /•.
De L. Touk 111.
TROISIÈME ET QUATRIÈME LEÇONS
S. Démontrer que, en coordonnées obliques^ la formule qui donne l'angle de deux droites A, A', est :
ces a cos6 ces Y
cosa' cos 6' ces y' »
A« ces V zz 0.
En projetant le contour xyz sur la seconde droite A, on a :
iTCOsa H-y cos6'H-^cos y'=^cos V;
et on obtient alors un déterminant dont la quatrième colonne a des éléments qui peuvent s'écrire sous la forme :
COS a + «, COS 6 -j- o, COS Y 4- o, o + cos V.
6 . Déterminer Vintersection des surfaces qui correspondent à Vune ou à Vautre des équations suivantes :
(t) • i»'+2/»4-2' — 3a:yzn:i,
(2) xyZ'^{X'^y){X'\'Z)(y + z)—i,
par le plan qui a pour équation t
x-hy-hzz^o.
CINaïïIÈME LEÇON
51. Droite perpendiculaire A an plwfli. On sait que la condilion nécessaire et suffisante, pour qu^une droite A soit perpendiculaire à un plan P, est que les projections de A sur deux plans sécanls soient perpendiculaires aux traces de P, sur ces mêmes plans.
Soient
les équations de A, et soit
(P) Aa; + By+C-3+D=o,
celle du plan P. La projection de A sur XOY a pour équation
(i) (A'C — G'A'O X + (B'C" — C'B") y -h D'C" — CD" — • o, et réquation
(2) Aic + Bj/H-D^o,
représente la trace de P sur ce même plan XOY. Les droites (1) et (2) étant rectangulaires, on a
fnrr *
1. Dans cette leçon, et dans la suite, il sera sous-entendu que les axes de coordonnées sont rectangulaires. Quand il nous arrivera de nous écarter de cette convention, nous préviendrons de cette exception.
En appliquant ce raisonnement au plan YOZ, on trouve
En résumé^ les conditions cherchées sont
&9. Remarqve. Lorsque Ton prend les équations de la droite sous la forme réduite (R), les conditions précédentes deviennent
&8« Problème. Abaisser d'un point Mo une perpendiculaire sur un plan P.
Les coordonnées de Mo étant iro,yo,^o, les équations générales d'une droite A passant par ce point sont
x — Xo __ y~yo z — Zq
et A sera perpendiculaire au plan P qui a pour équation
/LX + By + Cz + D=o, si Ton a
Les équations de la normale abaissée de M» sur P sont donc
iiA\ X Xo y — yo z — Zq
&4. Problème. Abaisser d'un point Mj (j?, ,y, yZ^) un plan P, perpendiculaire sur une droite A.
Soient (§ 38)
les équations de A. Le plan P est représenté par Téquation A(a? — a?,) + B(y — y,)-|-C(2: — ^,) = o,
avec les conditions
L'équation cherchée est donc, finalement,
(i) oL{x — x,)-h&{y — y,) + y{z—z,)=o.
Lorsque la droite A est donnée par les équations générales
A'a? + BV-f-C'2+D'=o,
on a
B'C — C'B" C'A' — A'C A'B' - b'A" ' et réquation (i) prend la forme
D) (B'C''-C'BO(a;--a:,)-h(C'A''--A'C'')(y—yJ-l-(A'B''--B'A'')(z -20==o.
55. Angeles cTone droite avec les axes. Considérons une droite A passant par l'origine et dont les équations sont
1. On doit remarquer que cette forme réduite donnée aux équations d'une droite, renferme, comme cas particulier, l'autre forme réduite ; il suffit de supposer
Jo=P, yo=gy -o=o;
et,
m CINQUIÈME LEÇON
Soient X, {a, v les angles que fait la direction positive de A avec les axes OX, OY, OZ ; nous avons
(i) cos* X -h cos* \t. -h cos* V = I .
Considérons le point directeur de A Les coordonnées de ce point sont cos X, cos ;/, cos v, et nous avons
, , cos X cos u. cos V ^
Les formules (1) et (2) donnent, par combinaison,
(E) cosXzrdr - y cos[jL^=i: cosv=z:ii
Dans ces formules, les signes supérieurs et inférieurs se correspondent ; on prendra le signe -f-, si y est positif ; le signe — , dans le cas contraire.
&G. Perpendicularité de deux droites. Si Ton représente les droites proposées A, A', par les équations
les directions positives de ces droites font, avec les axes de coordonnées, des angles X, {j., v; X',(jl',v' ; et Ton a (§ i6)
cos X cos V -h cos [X cos \l' h- cos v cos v' z= 0.
Les formules du paragraphe précédent donnent la relation cherchée :
(F) aa' + 66'-Hïy-=o.
Lorsque les équations des droites considérées sont données sous la forme réduite (R) la relation précédente s'écrit :
(G) ûa'-hW-hi =0.
DROITES ET PLANS PERPENDICULAIRES ba
5*9. Annules d'un plan P^ aveo les plans de eoordonnées. On peut supposer que le plan considéré passe parTorigine; soit
A.'r+B//-fCji=o,
son équation. La normale au plan T, menée par Torigine, a pour équation.
En appelant V,(x^v', les angles cherchés, les formules établies au paragraphe précédent donnent
to^Kznzt. — . CQstx'rzdi . COSv'zr;
Nous rappelons que, dans les égalités, les signes supérieurs et inférieurs se correspondent.
