Oéfinition du semi-plan positif on néi^alif

Si Ton veut préciser les angles X',îjl',v', il est nécessaire d'introduire ici la notion des semi-plans ; comme nouis avons introduit, en géométrie plane, dans une situation analogue, ridée des semi-droites.

Lorsqu'un plan indéfini P coupe le plan XOY suivant une droite A, celle-ci partage P en deux régions auxquelles nous donnerons le nom de semi-plan.

L'une de ces régions P' est située dans la même partie de l'espace que OZ, par rapport au plan XOY; nous l'appellerons le semi-plan positif; l'autre région P", constitue le semiplan négatif.

Cette convention étant faite, le semi-plan P' fait avec le semi-plan formé par la partie positive indéfinie de YOX et limitée à A, un angle dièdre bien déterminé, dont le cosinus a l'une ou l'autre des valeurs suivantes :

On peut alors se poser ici cette question : quelle est, parmi ces deux quantités, celle qui convient à Tangle bien déterminé que nous venons de définir ?

Pour mieux préciser, prenons un exemple numérique et considérons le plan P qui a pour équation

Taxe de ce plan correspond aux équations

et la semi-normale positive fait avec OZ un angle bien dé-

terminé, angle aigu dont le cosinus est égal à - ; mais le semi-plan positif P' fait avec le semi-plan positif YY'X, un

angle obtus dont le cosinus est égal à — :-.

D'une façon générale on peut dire que le coefficient de z dans réquation d'un plan P étant supposé posilif, les nombres A,B, C, coefficients des termes eux, y y et z dans cette équation, représentent les coordonnées d'un point M qui peut servir à déterminer la direction positive de Taxe du plan, laquelle est celle du mobile allant de Torigine au point M. Si M, point bien déterminé, d'après ce que nous venons de dire, se projette sur le semi-pian positif YY'X, l'angle dièdre formé par le semi-plan posilif P avec YY'X est un angle obtus dont le cosinus est égal à

Au contraire, si la projection de M se fait sur le semi-plan négatif YY'X', Tangle dièdre considéré est aigu et son cosinus est représenté par

^' (Oo)

59. Remarque. Nous ferons observer ici comment on* peut calculer les paramètres ^ el% dont nous avons parlé précédemment (§ 25) quand nous avons cherché, soit comme une application des formules d'Euler, soit par une voie directe, réquation d'une section plane.

L'équation du plai) proposé étant

(P) Ax-hBy-hCz = o, (A>o) on a, d'abord,

et, par suite, <^ étant plus petit que x,

(l) Sin()(=:H . COS (]<=: —

D'autre pari, les équations de la normale à (P) sont

et l'on a

(2) cos e r= ±1 et smO~±:

y/A* -h B' -h C VA' + B* + G*

Les formules (1) et (2), ces dernières étant prises avec des signes convenablement choisis, sont celles qu'il faut employer pour trouver l'équation d'une section plane.

60. Perpendienlarité de deux plans. On sait que deux plans sont perpendiculaires lorsque leurs axes sont reclangulaires. Soient,

Ax +By +Cz +D = o, yx-hB'y-hC'z + D'=o,

les équations des plans considérés ; les formules (li) et (F),

prouvent que la condition nécessaire et suffisante qui exprime que ces plans sont rectangulaires est

(0 AA'-hBB'-+-CC' = o.

61 . Problème. Abaisser d'un point M^ , une perpendiculaire A' sur une droite donnée A.

Désignons, comme toujours, par (ar, ,y,,2:,), les" coordonnées du point M, et soient

... ( V = PJx + BV + C'z + D' =0 ^ ^ / Q=A''a?H-B'V4-r/z4-D"=o

les équations de A. La droite A' peut être considérée comme étant rintersection de deux plans R et S ; le premier passant par M| et par A, l'autre étant le plan abaissé du point Mp perpendiculairement à A.

L'équation de R est

PQ.~QP,=o, el celle de S, d'après la relation (D),

69. Ang^le de deax droites. Si nous prenons les équations des droites proposées sous la forme

— — ;; — — , et, — =r —7- z: ~ ,

les formules (E) (§ 55), et la suivante

cos Vzi AA' + BB' + ce

établie plus haut (§ i5), donnent

ax' -4- 66' -h *r/ l^^ > o\

(J) COSViz± a:i-^oo-f-a [.^

Dans cette formule, le signe H- correspond à l'angle (bien déterminé) formé par les semi-droites menées par un point

(le l^espace parallèlement aux directions positives des droites

données. Il reste entendu que a^â^Y^ «\i';ï ; représentent les coordonnées des points directeurs.