AB— B'B" A'B' — BB' A"B" — BB

Le diamètre conjugué correspondant (l'axe demandé, par conséquent), a pour équations :

ou,

/;(AB— B'B'O = f^' ( A'B' - BB'O = fj {k"W — BB') .

Ces équations sont en défaut quand on suppose, en même temps, B' = o, et fi^ = o. Mais Tindétermination qui se présente ici n'est qu'apparente. Dans ce cas, les équations (\) s'écrivent

Aaro, A'6-»-By = o, B6h-A''y = o.

On a donc

a=o, et rB=r'

Les équations de l'axe sont alors

3. Trouver le lieu décrit par les normales menées aux paraboloïdes tout le long d'une génératrice fixe et donnée G • On pourra prendre les axes de coordonnées rectangulaires suivants.

lo Pour origine, le poiut M ou G reucontre une des paraboles princi* pales P ;

29 Pour axe OX. la tangente à P au point M ; pour axe OY, la normale

30 Pour axe OZ, une normale au plan P.

Dans ce système d'axes, l'équation de la surface s'écrit sous la forme

z* zz (nix + AyY •+• 2^y . En considérant la génératrice

(y = o , zz=z mx) , le lieu est un parabololde hyperbolique ayant pour équation

m{x + mz) I A [mx — z) — y (1 -hm')| =^ (1 H- m')(z— mx).

4. On considère sur le parabololde hyperboligue deux génératrices fixes OA, OA'; sur ces droites on prend deux points mobiles B, B' tels que OB-f-OB' soit constant.

.Cela poséf par le point B pa^se une seconde génératrice y, et par le point B, une génératrice y', autre que OA'; css droites y, y', se coupent en un point I, dont on demande le lieu géométrique.

En prenant les axes indiqués dans l'exercice précédent, on observera que les droites OB, OB' étant également inclinées sur OX et OX', la somme de leurs projections sur XX' est constante. Les abcisses Xot Xo^des points B et B', Yérifient donc l'égalité

Xq "~~ A. .— Jv •

Ou considère ensuite les plans tangents aux points B et B' et Ton trouve finalement, que le lieu cherché est une parabole située sur la surface oL dans le plan qui a pour équation

2 ir — Km .

GÉNÉRATION DES QUADRIQUES

Nous nous proposons d'indiquer maintenant quelques-unes des générations les plus remarquables des quadriques ; et pour nous borner, dans un sujet très étendu, nous nous occuperons seulement de Thyperboloïde à une nappe et du paraboloïde hyperbolique, surfaces qui, d'ailleurs, donnent lieu aux cas les plus intéressants que comporte cette étude.